ite (Methode der kleinsten). 
ist sich dagegen der Satz von 
etischen Mitte erweisen, 
durch die Methode der klein- 
Irate erhaltenen Werthe von 
sind, obgleich die wahrschein 
loch nie völlig genau. Hätte 
jichen Werthe, so könnte man 
»eobachtungen rectificiren, und 
derselben F l — C i =x l u. s. w. 
, woraus sich dann auch die 
und der wahrscheinliche Fehler 
>60 
— ergeben würde. Da aber 
n Werthe von a, h, c. . . nicht 
nd, so kann es sich nur darum 
on den letztgenannten Grössen 
heinlichsten Werthe zu ermit- 
mch der Wahrscheinlichkeit zu 
Iche stattfinde, dass zwischen 
rscheinlichsten und den wahren 
ine gewisse gegebene Differenz 
ürachtungen sollen hier noch 
werden. 
:h der Wahrscheinlichkeit, dass 
Verbindung der Constanten 
ttfinde, war nach 2) 
L — kSldadbdc .. ., 
Sldadbdc . 
( addx \ 
]/n / 
' ■. . sind die durch die Me- 
sinstenQuadrate gegebnen, also 
einlichsten Werthe dieser Con- 
zu verstehen; nnter x, x 3 ... 
en entsprechenden Fehler, das 
von Si sei ferner jetzt durch 
et. Mögen nun diese Con- 
i um sehr kleine Werthe da, 
ändern, so dass die Fehler 
i dx x , dx 2 , dx 3 . . . wachsen, 
z dieser Aenderung von 
st ein beliebiges, 
shra, b, c . .. constant, da, db, 
eränderlich betrachtet werden, 
la: 
d(a+da)~dda, 
u. s. w. zu setzen, also: 
r/dd.T' 
'{x+dx) 2 - 
st gegeben durch Gleichung: 
:hSlddaddbddc ,. . 
Wir können aber auch voraussetzen, 
dass die Function Feine lineare Function 
von a, b, c . . . sei, da sich die Aufgabe 
ja immer auf diesen Fall zurückführen . gt gQ ha( . man 
liess. Es ist dann auch dx eine lineare ’ ‘ ■ 
Fuuktion von da, db, de . . ., nämlich 
z. B.: 
dx — uda-\-vdb-\-wdc 
2{x+dxy-S{xy=%l{x^)&a + 2~(x~^db + 
<aldx 
Da aber Ix' 1 ein Maximum, also: 
. =0 
hx ex 
— Ix 
oa 
war, so hat man: 
L = kmC — « * ^ W * ddaddbddc 
wo die dx durch die Gleichungen 
\dx i —u^da-y-v^dbd-ie ^ded- 
|chr 2 =u 2 da-\-v 2 dh-\-ie 2 dcd- •• 
gegeben sind, und 
/ • + co F+oo n 
/ / 
— CO ./ —00 ./ 
+ 00 
00 
^ naux 
zu setzen ist. L ist die Wahrscheinlichkeit, 
dass die wahren Werthe der Constanten die 
Unterschiede da, db, de von den gefunde 
nen wahrscheinlichsten haben. Suchen 
wir jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür, 
dass der wahre Werth nur der ersten Con- 
stante um da von dem wahrscheinlichsten 
abweiche, während die andern Constanten 
völlig unbestimmt bleiben. Diese ist 
offenbar: 
, ß ddbddc 
denn sie ist gleich der Summe aller Wahr- auf db, de, nicht aber auf da zu inte- 
scheinlichkeiten, dass a und da wächst, griren. Der Ausdruck A(cbr) 2 lässt sich 
während die Zunahme von b und e alle vermöge der Gleichungen für dx l , dx 2 ... 
möglichen Werthe von —cobis +oo an- leicht auf die Form bringen: 
nehmen können, es ist also in Bezug 
^dx 2 = da 2 JEu- +d'6 2 Ar 2 + dc 2 J£w 2 + . . . + 2Zvvdadb-\-22utodadc-\- • • • 
+ 2 ArM? dbdc ■ . • 
Dieser Ausdruck aber ist eine homogene Zu dem Ende wollen wir, um die An- 
Funktion zweiten Grades von den Grössen zahl der Constanten anzudeuten, diesel- 
da, db, de, und kann also in eine Summe ben mit 
von Quadraten verwandelt werden (siche a a x a a . statt mit abc 
Artikel Quadrat). 
n—1 
bezeichnen, dann ist: 
~' !x ' = +/»,+«,,/++ ■ +Vi'Vi +, i i ‘> ,+( \)W“i + "■ 
+ + V ,o) ’ • • ■ 
wo die 6 leicht zu bestimmende Grössen sind, die sich aus den Ausdrücken lu 2 , 
2uv u. s. w. ergeben. Setzen wir noch: 
p (frf 4-p 4- . .