Quadratur (analytische). 316 Quadratur (analytische), 
ist direct zu untersuchen. Wir wenden stimmten und endlichen Werth, so ist 
bei dieser Untersuchung diejenigenPrin- -oo 
zipien an, die uns schon in Abschnitt 38 dies der Grenzwerth von / e UX f(x)dx 
* CO —n.r • J n 
den Werth von 
J 
dx für für den Fall, dass « gleich Null ist.“ 
u Die Richtigkeit dieses Satzes zeigt fol- 
den Fall gaben, dass a gleich Null war. gende Betrachtung. Sei: 
Wir können den Satz, der diesen Be- x 
trachtuagen zu Grunde liegt, etwas all- j f(x)dx — <j(x), 
gemeiner mit den Worten aussprechen: J o 
/ 00 so ist: 
f(x) dx einen he- f( x ) — <f '(x) 
0 und 
f e~ ax f(x)dx - f e c<X y.'(x)dx = a C e~ aX q (x) dx. 
' 0 J 0 / 0 
Das letzte Glied folgt durch theilweises Integriren, wobei der Theil ausserhalb 
des Integralzeichens verschwindet. Nun ist 
f e~ aX (f(x)dx - f e~ c ' X (f{x)dx + f e~ aX q{x)dx. 
J 0 J 0 ^0 
Sei nun q ein mittlerer Werth von 7(0?) in den Grenzen 0 und c, a ein solcher 
in den Grenzen c und 00, da if(x) für x = co nicht discontinuirlich wird, so ist 
nach einem schon oft angewandten Satze: 
«co 
af e aX (f (x)dx = (1 —e ac ) q -f- e CiC a. 
J 0 
Möge jetzt c ins Unendliche wachsen, während « abnimmt; jedoch sei dies in 
dem Masse der Fall, dass ac noch immer nach Null hin abnimmt. Es ist dies 
z. B. der Fall, wenn 
1 /- 
c= 7}=> ((C = } « 
y a 
gesetzt wird, wo dann ac mit a gleichzeitig verschwindet. Man hat dann: 
/ CO «00 
e ax f(x)dx ~ aj \e c<X y(x)dx = ff. 
0 J 0 
a aber war ein Mittelwerth von 7 (0) und 7 (00), was mit wachsendem c den 
/ 00 
f(x) dx ergibt. 
0 
Dieser allgemeine Satz zeigt für unsern Fall, dass die Ausdrücke XXXIIa 
und b noch Gültigkeit haben, wenn die Integrale links endliche und bestimmte 
Grössen sind. Es ist: 
n 2n . ,71 
- — (<+!)- 
/ « ( i r r r r r 
sinrxa; dx= I -f-/ +•••+/ 
0 •' 0 J n J tn 
71'-“"“ 1 ... 
Da x immer positiv ist, so wird das Vorzeichen von sinra; das der einzelnen 
Integrale bestimmen, und das erste Integral rechts ist positiv, das zweite nega 
tiv u. s. w. Es ist also: 
(s+0- 
C 1 . il X , l/ .71V 
J sinrx x dx = y{s + ()-J