Quadratur (analytische). 319 Quadratur (analytische).
wir uns zu ihrer Bestimmung der Formel B des vorigen Abschnittes bedienen.
Es ist, wenn wir in dieser Formel a = co setzen, und berücksichtigen, dass in
dieser / y(a+yi)
J 0
immer verschwindet, wenn ct positiv ist:
/
(
(
/
I
<
/
/
r (x+ bï)i
(x + bi)
dx :
rxi
J •/
0 a
dy
—r(x+bt)i ,. co
i/,r = j
(x+bi) c< J 0
0 (*)“
b
clx—i
w
1 y (Ix
r(x+bi)i rai _
® «/* = f f/a’-i f
{xi-bf J 0 (xif ' 0 {-y)
-r (x + hi)i
(xi-bf
—dx:
f
/ .s((
(xi)
-dx —
'f
e y dy
(-yf
Die ganze Entwicklungsweise, der wir
die Formel A des vorigen Abschnittes
verdanken, setzt voraus, dass die Potenz
im Nenner der Integrale links und der
zweiten Integrale rechts immer den
kleinsten Arcus habe. Denn die vier
Seiten des Rechtecks, auf welchen die
Integrale genommen wurden, müssen sich
derart an einander schliessen, dass die
Argumente dieselben bleiben; da nun im
ersten Integrale rechts immer der kleinste
Arcus genommen ist, so muss dies auch
bei den anderen Integralen geschehen.
Jedoch enthalten die letzten Integrale
der beiden letzten Formeln noch eine
Zweideutigkeit in dem Falle, wo b po-
sitiv ist. Diese wird aber gehoben, wenn
man berücksichtigt, dass
xi — b — ge 11 ,
immer einen Arcus r enthält, welcher
positiv ist, so lange x, wie hier, immer
während der Integration positiv bleibt;
es ist also auch für # = 0 der Arcus po
sitiv zu nehmen, und da y im letzten
Integrale bis b geht, so ist
ni
—y —ye
hier mit dem positiven Werthe des Ar
cus zu versehen.
Setzt man jetzt in die letzten vier For
meln für die ersten Integrale rechts ihre
Werthe ein, so kommt:
/
(
(
/
(
(
/
(
I
/
r(x+bi) i ^ —ry,
e - -d*+ i Í = ie 2 « r(1 _ ß)
{x+bif ’ 0 (yif
-r (#+ bi) i
b ...
y du
(x+bif
r (x + bi) i
(xi—b) c
dx+ i /
J o (rf
b
Í = -ie- r /’(!—«)
dx+ i
'/
o (-yf
y dy . —ani ß-i,,,, v
J =te r r(l —«)
t —r(x+bi)i
-~d X +if ^ =
(xi-bf J Q (-yf
5)
6)
7)
8)
Wenn man in diese Formeln noch — b für b setzt, so ergibt sich, wenn
man noch x mit — x, y mit —y vertauscht, die Grenzen der Integration aber
umkehrt:
