Quadratur (analytische). 334 Quadratur (analytische). 
Also, wenn man setzt; 
13) 
und den Ausdruck lgr(l+w) nach dem Taylorschen Satze entwickelt: 
lgr(l + «) = —C«+S a ^-S s ^ + S 4 ^- . . 14) 
IgEQ+ß) wird für a~— 1 discontinuirlich. Die Entwicklung convergirt also nach 
dem Cauchyschen Satze (siehe den Artikel: Quantität) nur so lange, als der 
Modul von a kleiner als 1 ist. 
Um eine bequemere Formel zur Berechnung von lgF(l + «) zu haben, addire 
man zu 11) den Ausdruck: 
_ . . a ß 3 
0 — — lg(l-+-«) + «—2” ’S— ’ ' ’ 
Man erhält: 
lgnl + «) = -lg(l + «)+(l+C)«+4(S 2 -l)a 3 -£(S 3 -l)« 3 + ... 15) 
Noch schnellere Convergenz erreicht man, wenn man in der vorigen Formel 
— ß für a setzt, und die so gebildete Formel von 15 ahzieht; links erscheint 
dann das Glied: 
lg F(1 + ß) - lg r(l — a) = 2 lg 1'(1 + a) — lg [F(l + a) P(1 - «)] = 2 lg F(1 + «) 
-lg a— lg [I\a) r( 1 -ß)] 
und wenn man Formel 12 des vorigen Abschnittes berücksichtigt, wird dieser 
Ausdruck: 
2 lg F(1 + «) — lg ß — lg -. 7m 
und wenn man auch den Ausdruck rechts bildet: 
77 ß , , 1 + ß 
lgr(l+a) = *lg 
sin {na) ^ i& l 
^g^-+(l + C)a-(N 3 -l)'A--(N 5 -lV 
16) 
Diese Reihe convergirt sehr schnell. Ist a reell und grösser als 1 oder complex 
und hat sein reeller Theil einen Werth, der grösser als 1 ist, so kann man For 
mel 16 in Verbindung mit: 
r(«-f 1) = a r(a) 
oder 
lg A>+1) = lg ß-f-lg r(a) 
anwenden. 
Diese Formel folgt auch für negatives a aus der Formel 7, die man ja in 
diesem Falle als Definition benutzt. Es ist nämlich: 
1.2.3... q.a . 9'a . 
: <a-hl) . . . (a+p-l)(a+p) ? * ? ^’ 
r(a+l): 
Ein Ausdruck, der für wachsendes r identisch wird mit aF(a). 
Ist also a algebraisch kleiner als —1, so gibt die Formel: 
lgJX>—l) = lgr(a)— lg(ß—1) 
in Gemeinschaft mit 16) den verlangten Ausdruck. 
Setzt man in 16) noch a = 1 — r, so ergibt sich 
lg lg (1-fl) = lg(— ( -^-) + lg r, 
sm/ia \—i-ßcosrr/ 
wenn r nach Null hin ahnimmt, ein Ausdruck, welcher offenbar gleich 
lg (1—r) = 0 
wird. Es ergibt sich dann ein Werth für C aus 16, nämlich: 
C=-l-Hlg2 + KS3-l)+Ä(S 5 —1)+ • • • 
Einen andern Ausdruck gibt Formel 16, wenn man darin x~\ setzt: 
C=-l + lgf+3^(S 3 -l)+A- c (S 5 -l) + 
5*16