Quadratur (analytische). 
336 Quadratur (analytische). 
wo — a die untere Grenze — 
gleich —co wird. 
l-e\ 2 
anzeigt, die also mit wachsendem n 
/»P 00 <2 / >co 
/ t c dt — j -f- / — 4 4 ; 
—co '' 0 ■' —co 
da aber das zweite Integral unserer Formel 
•co 
/ 2 
die (1 — «) f 
Cf) 
noch den Bruch 1 — s als Factor enthält, so erhält man : — als Werth des- 
2 2 
selben, wo I und /u (kleiner als Eins sind. Der Werth dieses Integrals ist also 
kleiner als j, bezeichnen wir denselben mit «. Wegen: 
/ + 00 _ #a /*°° /2 /_ 
dt e — 2 / di e = n 
CD D 
hat man dann: 
r(l-\-n)~e n n n+ ? 
*Ÿ2n f 1 + «} n "i , 
v Æ J 
V2r. 
wofür man mit wachsendem n auch setzen kann: 
r(l+n) = e~ M n w+ V2^ = l-2-3.-.n. 1) 
Hiernach nimmt auch die Formel 7) des vorigen Abschnittes die Gestalt an: 
a(a+l) • • • (a+n-iy 
Die Formel 1) wird nach ihrem Erfinder die Stirlingsche genannt. 
2) 
52) Mehrfache bestimmte Inte 
grale. 
Die Theorie der mehrfachen bestimm 
ten Integrale ist schon in den Abschnit 
ten 34 bis 36 den Grundzügen nach ge 
geben. 
Bei denselben sind sämmtliche Gren 
zen entweder Constanten oder die Gren 
zen des nach der ersten Variable x ge 
nommenen Integrals Functionen aller 
übrigen Variablen y,z>,u . .., die des nach 
y genommenen Integrals Functionen von 
¡5, u . . . u. s. w., so dass nur bei der 
letzten Integration constante Grenzen 
Vorkommen. Natürlich ist der erst an 
gegebene Fall der bei weitem einfachste. 
Im letztem führt Transformation der 
Variablen nach den Abschnitt 36 gege 
benen Eegeln oft zu einfacheren, zuwei 
len zu constanten Grenzen. Letzteres 
erreicht man auch durch die von Dirich- 
let herrührende Methode des Disconti- 
nuitäts-Factors, von welcher bald die 
Bede sein wird. Auch die Umkehrung 
der Grenzen ist oft anzuwenden, wobei 
die Abschnitt 34 gegebenen Regeln zu 
befolgen sind, namentlich aber untersucht 
werden muss, ob das Argument während 
der Integration discontinuirlich wird, und 
wenn dies eintritt, ob diese Methode 
noch gestattet ist — ein Punct, worüber 
das Nöthige ebenfalls in Abschnitt 34 
enthalten ist. 
Wir wollen hier noch die gebräuch 
lichsten Transformationen zusammen 
stellen. 
I) Eine der häufigsten Transformatio 
nen ist die in der Geometrie so oft vor 
kommende Verwandlung der rechtwin 
keligen Coordinaten in Polarcoordinaten. 
Handelt es sich um Curvcn in der 
Ebene, so sind die entsprechenden 
Formeln: 
x = r cos ,9-, y~r sin xh, 
wo x, y die rechtwinkligen, r, ,9 die Polar 
coordinaten sind. 
Im Raume dagegen hat man: 
X — r cos .9, y — r sin »9 cos y, 
z~r sind- siny.