nalytische). 
üt wachsendem n 
— als Werth des 
integráis ist also 
1) 
lie Gestalt an: 
2) 
annt. 
itlich aber untersucht 
> Argument während 
tinuirlich wird, und 
oh diese Methode 
ein Punct, worüber 
Js in Abschnitt 34 
noch die gebräuch- 
itionen zusammen- 
;sten Transformatio- 
iometrie so oft vor- 
lung der rechtwin- 
in Polarcoordinaten. 
im Curven in der 
die entsprechenden 
y — r sin .9, 
ligen, r, ,9 die Polar- 
n hat man : 
= r sin *9 COS (/, 
.9 siny. 
Quadratur (analytische). 337 Quadratur (analytische). 
Mit Hülfe dieser Formeln fanden wir bereits in Abschnitt 86: 
J f U dx dy =J' fr U drdd-, 
wo die ersten Formeln gelten, 
f f j U dx dy dz — fff 2 U sin 9 dr dü dy , 
wo die zweiten Formeln gelten. 
Die Formeln drücken für den Fall, wo m = 1 ist, bekanntlich bezüglich den 
Flächeninhalt der von einer Curve begrenzten Stücke oder Ebene, und der von 
einer Fläche begrenzten Körper aus. Es war ferner: 
r 2 sin9 2 +-— sin ,9- 
(5,9 2 
+- 
d(i dy , 
mit Anwendung der zweiten Formeln, den Artikel: Flächen zweiter Ordnung). 
Dieser Ausdruck gibt den Inhalt eines Nach dem Dupinschen Satze schneiden 
Stücks einer krummen Oberfläche an. sich diese Flächen daher immer in Krüm- 
II) Von grosser Wichtigkeit sind auch mungslinien. . Diese geometrischen Be- 
die sogenannten elliptischen Coordinaten, Pachtungen sind jedoch für uns hier we- 
welche von Lamé herrühren. Die ent- ni S cr ) vichti g, als die Eigenschaft dieser 
sprechenden Transformationen sind ge- Ausdrücke, dass man leicht x, y, z als 
geben durch die folgenden Formeln, avo Functionen .von /x, v bestimmen kann. 
A, /u, v die neuen Variablen, x, y, z die Fs * st ^’ cs e ’ nc Betrachtung, welche 
alten sind : 
F + 
2/ 
+ 
A 2 - 
= 1, 
X ¿ 
[X* + ^ 
X 2 
-T + 
-6 2 
+ 
auch auf mehr als drei Gleichungen von 
der hier gegebenen Gestalt Anwendung 
findet, und die Avir daher in ihrer All 
gemeinheit nach Binct geben. 
Seien n Gleichungen von der Gestalt 
gegeben: 
r 
+ 
y‘ — 6 2 
Die drei Gleichungen haben eine geome 
trische Bedeutung, welcher die Ausdrücke 
A, fx, v den Namen elliptische Coordinaten 
verdanken. Nehmen wir nämlich an, dass 
A grösser als c und als 6, /u grösser als 
b und kleiner als c, v kleiner als b und 
c sei, so ist die erste Gleichung die 
eines Ellipsoides, die zAveitc die eines 
einschaligen, die dritte die eines zAvei- 
schaligen Hyperboloides. Alle drei ha 
ben dieselben Hauptschnittc. Lässt man 
A, fx, v sich ändern, so bleiben die Haupt 
schnittc dieser Flächen unverändert, sie 
heissen homofoeale Flächen, und haben 
die Eigenschaft, dass Avenn man A, /x, v 
irgend Avie bestimmt, die dadurch gege 
benen drei Flächen sich immer unter 
einander rechtAvinklig schneiden. 
F(a) —/•(«) 
+ 
+ 
V 
+ 
+ 
+ 
+ 
x 3 ß 
ß x *—y 
7* 
+ 
+ 
+ 
= 1 
= 1 
= 1 
und setze man: 
F(m) = (m—«) (u-ß)(u—y) . . ., 
f(u) = {u—x l )(u~x i )(u-x 3 ) . . ., 
so ist F(m)—f(u) vom Grade n — 1, also 
im Ausdrucke 
F i u ) — A» 
der Zähler um 
F(«)—f{u) 
(Siche 
m 
F(«) 
einen Grad niedriger als der Nenner. 
Die Zerlegung der Partialbrüche gibt 
dann: 
+ 
m . m-nv) 
F(m) F'(«) (m—«) 
Setzt man hierin nach und nach: 
U — x L , U = x 2 , U — X 3 
und berücksichtigt, dass: 
ist, so hat man; 
+ 
F 'iß) (P~ß) F'iy) («—y) 
+ 
F(«) = F(ß) — FQy) = • • - =0 
f{x t ) = f(x 3 )=f(x ¿ )= • • • =0 
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