Quadratur (analytische). 
338 Quadratur (analytische). 
m i 
m i 
m 
F'(ft) x l —c( 
F’{ß) x t -ß 
V\y) 
m i 
m i 
fiy) 
F'(«) x^ — a 
F r (ß) x 2 —ß 
F\y) 
= 1 
= 1 
Diese Gleichungen aber sind den ge 
gebenen identisch, wenn man setzt: 
r _ m „__«/») z __/xr) ... 
- y~ F\ßy ~ F'(y)' 
und dies sind die Ausdrücke für diese 
Grössen. 
In unserm Falle ist zu vertauschen 
x, y, z mit x 2 ,y 2 ,z 2 , 
x l ,x- i ,x 3 mit A 2 , fx 2 , v 2 , 
cc, ß, y mit 0, b 2 , c 2 , 
f(u) = (« — A 2 ) (U — fX 2 ) (m — p 2 ), 
F(u) ~u{u—b 2 ) (u—c 2 ), 
also: 
F' (u) = (u—b 2 )(ti—c 1 )+u(u—c 2 ) 
+u(u-b 2 ), 
F'( 0) = b 2 c 2 
F'(6 2 ) = 6 2 (Zr-c 2 ) 
F'(c 2 ) zrc 2 (c 2 — ¿ 2 ), 
also: 
¿ 2 c 2 
F'(« ■) = («' 
F'{b 2 ) = {b 2 
F'(c 2 ) = (c 2 
-b 2 ){a 2 
-a 2 )(l> 2 
-ß 2 ) (c 2 
-c 2 ) . . 
-c 2 ) . . 
A 2 ) . . 
also: 
y- — 
z 2 =-^ 
(A ? —ß 2 ) (,a 2 — a 2 ){y 2 — « 2 ) . . 
(« • // 2 )(«--c 2 ) ... 
( P _^) (i u 2 -i 2 ) (v 2 -Z> 2 ) . ■ 
(6 2 —a 2 ) (6 2 —c 
— c 2 ) (,u 2 —c 2 ) (* 
-c 2 ) . . . 
y~ 
(A*—F 2 ) (,u 2 -i 2 ) (¿ 2 - A-) 
b 2 {c 2 -b 2 ) 
, a= a a -c a ) (c 2 -^ 2 )(c 2 -f 3 ) 
c 2 (c 2 6 2 ) 
III) Bei mehr als dreifachen Integra 
len kann man zuweilen mit Yortheil 
ganz ähnliche Transformationen anwen 
den , wobei natürlich die geometrische 
Bedeutung der neuen Variablen aufzu 
geben ist. Man setzt: 
a; 2 
T5 ITT + 
(c 2 —et 2 ) (c 2 —b 2 ) . . . 
IV) Ein häufig vorkommender Fall ist 
der, wo b und c Null werden. 
Da aber die positiven Grössen ¡x zwi 
schen h und c liegen, v kleiner als b 
und c sein soll, so muss man sich b 
und c zunächst unendlich klein denken. 
Sei demnach 
b = tß, c = (Y, 
wo ß und y endliche positive Grössen, 
« unendlich klein ist; sei ferner 
fx — tm, v — m und b<m<c, n<b<c, 
A = r aber eine endliche Grösse, so ist: 
x 2 -\-y 2 +s 2 = r 2 
x 2 . z 2 _ 2 
' — b 2 c 2 —in 2 
+ 
n l b 2 —C*—71' 
also wenn i verschwindet: 
x 2 +y 2 +z 2 ~r 2 
y- 
-|- 
m 2 — b 2 
y 2 
+ 
z 2 
+ . . 
,. =1 
k 2 — b 2 
A 2 - 
~c 2 
y 2 
+ 
J5 2 
+ ■ • 
— ] 
[X 2 —b 2 
fX 2 — C 2 
y 2 
+ 
z 2 
+ . ■ 
-1 
V 2 — b 2 
V 2 - 
-c 2 
= 0 
* 
= 0. 
x s z* 
71 2 6 2 — n 2 C 2 —7l 2 
Die erste Gleichung stellt eine Kugel 
vor, die zweite und dritte einen Kegel 
zweiten Grades. Die Ausdrücke für 
x 2 -,y 2 ,z 2 aber werden: 
7' 2 7tl 2 7l 2 
b 2 c 2 
b 2 ){b 2 —n 2 )