Quadratur (analytische). 345 Quadratur (analytische). 
V = 
f/J 
'Q (À 2 —(U 2 ) (u 2 --*' 2 ) (A 2 —i' 2 ) 
ghiklm 
dl dix dv. 
Wegen der bekannten Formel für den Grenzen constante einzuführen. Man 
achten Thcil des Ellipsoïdes ist der Werth wird den Sinn und die Tragweite dieser 
dieses dreifachen Integrals gleich: Methode leicht an einigen Beispielen 
erkennen. 
— py(o 2 —6 2 )y(o 2 —c 2 ) = F. Wir fanden in Abschnitt 38) For- 
b ' mel IVa): 
_ 56) Von grosser Wichtigkeit für die 2 f’ G0 sin </ cos ß'fdrf^^ ^ __ n 
Berechnung mehrfacher Integrale, deren J. — ^ oter 
Grenzen nicht alle constant sind, ist die ‘ 0 
von Dirichlet herrührende Methode des je nachdem ß abgesehen vom Vorzeichen 
Discontinuitätsfactors. Der Zweck dieser grösser oder kleiner als Eins war. Wir 
Methode ist, statt der veränderlichen setzen: 
-fff 
o -k(x+y-\-z + . . •) a- 
-1 b—1 c—1 
y * 
wo k, a,h,c . . . positiv sind. 
Erstrecken wir ferner die Integration 
über alle Werthe von x, y, z . . ., wel 
che die Bedingung erfüllen, dass 
a=x+y + z-{- • • • <1 
ist und x, y, z immer positiv sein sollen. 
Statt nun die Grenzen der Integration 
aus dieser Bedingung abzuleiten, mul- 
tipliciren wir das Argument mit dem 
Factor: 
2 / x T 00 ^»+co ^.-foo 
0 J 0 ‘I 0 J ( 
U =■ 
/; 
• • dxdydz • 
sin ff cos aff difi 
und da, so lange 1 ist, also unsere 
Bedingung erfüllt, U immer gleich 1 
ist, ausserhalb der Grenzen der Integra 
tion aber Null wird, so ist es gestattet, 
die Integrale alle in den Grenzen 0 und 
-fco zu nehmen, da derjenige Theil, wel 
cher unsrer Bedingung nicht entspricht, 
von selbst verschwindet. 
Es wird also 
-ka a—1 h- 
x y 
sin ff 
V 
cos aif dff dx dy (h . 
Da aber für <r=-fl und <r = —1 Dis- 
continuitäten stattfinden, so fragt es sich, 
ob hier die Umkehrung der Ordnung 
des Integrirens noch gestattet ist. Diese 
Frage erledigt sich jedoch, wenn man 
zunächst statt des Ausdruckes U das 
Integral: 
/. 
-iff 
sine/ cos atf dff 
betrachtet, welches nach Formel III des 
Abschnitts 38 stets gleich: 
1 1+ff , 1 f 1—ff 
— arc tg 1 arc tg 
71 ' f 71 t 
B — — T d ' r su ^~ Q, 
nj 0 <f 
ist, also so lange e nicht Null ist, keine 
Discontinuität erleidet. Denkt man sich 
diesen Werth für V in A eingesetzt, so 
ist also Umkehrung der Ordnung des 
Integrirens erlaubt. 
Mit abnehmendem « aber nimmt das 
Integral, gleich viel nach welcher Grosse 
man zuerst integrirt, die hier gegebene 
Form an, und ist somit auch für f=0 
der Werth von A derselbe, man mag 
erst nach ff oder erst nach x, y . . . - 
integriren. 
Wir schreiben statt cos a ff aber 
e ar fi- es wird dann A der reelle Theil 
des Integrals: 
dff sin ff 
/ -fco ^,-j-CO 
J 
0 J 0 
. • • e a< f* dx dy . . . 
ist.