Quadratur (analytische). 
350 Quadratur (analytische). 
dz 
dx 
= ?(*> y\ 
Es ist nun: Gleichung: 
ch = // (x, y) clx -f1p (x, y) dy 
kann man aber 
also x = x 0 , also dx — 0 
setzen, da x 0 Constant war, und erhält: 
dz' = ip(x 0 ,y)dy, 
wo hei der Integration y als Constant zu also 
denken ist. Nimmt man dies Integral, t t _ \ x i,( x fa, 
welches noch eine Constante (oder viel- J J 
mehr eine Function des Constant gedach- Sei noch für y=y 0 , z' = z", d. h. für 
ten y) enthält in den Grenzen xund.r 0 , x = x 0 und y=y 0 , z = z", so ist 
=jl ( x i y) dx ’ 
so hat man; 
■~z’ - I y(x,y)dx 
• * CT 
/ y 
V'Q'o ,y) d y, 
Vo 
und z” — i(x 0 , y 0 ) wird eine willkürliche 
und es bleibt nur noch von y dieFunc- Constante sein; man hat also, wenn man 
tion 2' zu bestimmen In der gegebenen diese Werthe einsetzt: 
pX piy 
2=/ f f( x ,y) dx +l V'(*0> y) d y+z". 
• J x o Vo 
Diese Methode, welche übrigens einfacher als die gewöhnlich in den Lehr 
büchern gegebene ist, lässt sich augenblicklich auf beliebig viel Variablen aus 
dehnen. Es sei: 
dz = ff i {x l , x 2 ...x n )dx l J r 'f 1 {x l , x, ... «„)<&*+••-+7' n (»i, x 2 ...x n )dx n 
entstanden durch Differenziiren der Gleichung 
z=f{x lt x, . . . x n ), 
wo /„ x 2 ...x völlig von einander unabhängige Grössen sein sollen. 
Bedingungen hierfür sind, dass man hat: 
dz dz dz 
dx 
• = Vi» 
dz 
dx 
oder durch nochmaliges Differenziiren; 
d, f< 
d 2 z 
dx dx. dx, ’ dx.dx 
st t t s 
1l 
dx 
gesetzt werden können. Die Anzahl der 
sich hierdurch ergehenden Bedingungs- 
gleichungcn ist: ——; sind diese er- 
eine symbolische Gleichung, in welcher füllt, so geschieht die Integration wie 
für s und t alle Zahlen von 1 bis n oben. Wir setzen: 
Es muss also sein 
d,f. s dy, 
dx 
t 
ox 
für und 2 = 2^'\ 
für x l =xj'°^ und 2 — 2^ 
für x t x 1 =xj' {) ') und z 3 =a: 3 ^, 2 = 2^’^, 
für x a =xj°\ x 3 
00 
x (0) - («) 
• • • x n~ n ’ z - z •