Quadratur (analytische). 352 Quadratur (analytische). 
Beispiel. Sei gegeben 
( j z _ydx—xdy 
y‘ 2 +x 2 ’ 
so ist 
r /=: 
y 
V'— ■ 
?/ 2 -^-a; 2, T y 3 -{-x' 
dff, ^ d\p ^ x 2 —y 2 
dy dx (y 2 + ß 2 ) 2 ’ 
die Intcgrabilitätsbedingung ist also er 
füllt, und es wird 
_-y (lx j' V _» 0 d V _ + 
f 
x 0 y + x> 
Aber wenn man 
x 
V ' 
setzt, erhält man: 
V 0 
y*+x 0 ‘ 
- U, — — V 
J 
ydx 
- I , = arc tg u—arc tg « 0 , 
und; 
f 
y x 0 dy 
y. »*+*• 
= arctgu —arc tgr 0 , 
_ y 
ist. Also: 
z — arc tg 
y 
Es ist aber 
arc tg — — arc tg — 
V x 
arc tg — -)- z". 
X n 
arc tg s = | - arc tg 
also; 
z = arc tg — + arc tg^- - 
y x o 2 
oder wenn a; o = 0 genommen werden soll, 
y 0 aber positiv ist, wo dann 
arctg —= arctg(-|-co) = ^ wird, 
x 0 Z 
2 = arctg-+2". 
y 
57) Fasst man, wie es im Anfang die 
ses Artikels geschehen ist, die Quadra 
turen als die Grenzen von Summen auf, 
so wird die Integralrechnung bis zu einem 
gewissen Grade unabhängig von den Bc- 
trachtungen und dem Algorithmus der 
Differenzialrechnung. Diese Auffassung 
ist die historische, und lange vor Leib- 
nitz und Newton, den Erfindern der ho 
hem Analysis, hat man diese Methode 
angewandt, namentlich zur Berechnung 
von Flächeninhalten, freilich ohne sich 
eines allgemeinen Algorithmus zu bedie 
nen, Zu bemerken sind hierbei nament 
lich Descartes, 1596 bis 1650, und sein 
grosser Zeitgenosse Eermat, der 1590 bis 
1665 in seinen Untersuchungen dem Geiste 
der hohem Analysis bereits sehr nahe 
gekommen war. Von letzterem rührt auch 
die Methode her, das Gesetz der Ver 
änderlichkeit angemessen zu bestimmen, 
um der Summe, deren Grenze man ver 
langt, eine möglichst einfache Gestalt zu 
geben. 
In Abschnitt 4) haben wir ein Beispiel 
dieser Methode gegeben. Geschickte und 
fruchtbare Anwendungen dieser Methode 
gab auch Wallis, 1616 bis 1703. Von 
einer allgemeineren Auffassung der In 
tegralrechnung kann aber erst seit New 
ton , 1642 bis 1727, und Leibnitz, 1646 
bis 1716, die Rede sein. Bekanntlich 
gelangten beide grosse Männer wahr 
scheinlich gleichzeitig, aber auf verschie 
denen Wegen, zur Auffindung der Dif 
ferenzialrechnung. 
Da das Integriren das inverse Verfah 
ren des Differenziirens ist, so konnten 
nach Bestimmung der Differenzialquotien 
ten der verschiedenen Functionen ebenso 
viel Integrale bestimmt werden. Die 
Methode des theilweisen Integrirens und 
der Substitution rührt von den Erfindern 
der hohem Analysis her. 
Die Auffindung der Integrale gcbroch- 
ner Functionen verdanken wir Johann 
Bernoulli, 1667 bis 1748. Die Methode 
des Rationalmachcns der Functionen, 
welche eine Quadratwurzel eines Aus 
druckes zweiten Grades enthalten, rührt 
von Cotes her (1682 bis 1716). Wesent 
liche Verdienste um die Forderung der 
Integralrechnung hat sich Euler erwor 
ben (1707 bis 1788), besonders durch sein 
Werk: „Institutiones calculi integralis.“ 
Die Berechnung der bestimmten Inte 
grale muss wohl ebenfalls auf Euler 
zurückgeführt werden, hat aber wesent 
liche Erweiterungen in diesem Jahrhun 
derte erfahren. 
Ein höchst wesentlicher Fortschritt ist 
die Einführung des Begriffs des Imagi 
nären in die Integralrechnung. Wenn 
derselbe auch vor Entstehung dieser Wis 
senschaft öfter gelegentlich angewandt ist, 
so ist doch die schärfere Begründung 
dieses Verfahrens, namentlich die Theorie