(Methode der kleinsten). 
Quadrate (Methode der kleinsten). 29 Quadrate (Methode der kleinsten). 
icbiger Werth der Präcision. 
wie oben gezeigt wurde; 
/adx\n e —tt 2 Ix 2 
\ y n) 
- da)dx\n e -(a + da) 2 Ix 2 
j n i 
\ n ß—da(2a + d(i)Ix 2 
ler Gleichung u — 
/ 
y 
11 
Ylx 2 
Ix 2 
(da 
« / 
dan hat aber : 
1 cfn 2 \ 
+ 2V/ 
1 da 3 
3 
er Fehler positiv und nega- 
, so ist die Wahrscheinlich 
es die wahre Präcision sich 
,cn: 
•360\ / 0,4769360\ 
r~) und rir) 
nn nach der Definition des 
iien Fehlers, war ja dessen 
dikeit Diese beiden Aus- 
r daher wahrscheinliche Gren- 
Ision. Eben so sind : 
g 
360 und 0,4769360 
1+ Yn 
an die höheren Potenzen von 
issigen kann: 
»360\ / 0,4769360\ 
.-) und ,(l+-^-) 
inlichen Grenzen des wahr- 
Beobachtungsfehlers. 
n diesen Betrachtungen der 
sein Quadrat ist die arith- 
te aus den Quadraten aller 
ifehler. Man nennt daher 
ais druck den mittleren Feh - 
,nn: 
/ n t 0,7071068 3 
-=y25ci^=iyf=—r— "" ä 
ü=0,4769360 d2i^L = 0,6741897 t. 
Da das Quadrat des mittleren Fehlers f 
die arithmetische Mitte aller Fehlerqua 
drate ist, so ist auch t 2 das wahrschein 
lichste aller Fehlerquadrate. 
8) Um den mittleren Fehler t zu fin 
den, müsste man I(x) 2 oder die Qua- 
draten-Summe der wahren Beobachtungs 
fehler haben, sind unter x t x 2 ... die 
wahrscheinlichsten Beobachtungsfehler 
verstanden, so ist also 
r _JI(x.+ dxy 
— 
zu setzen, und man kann für I(x-\-dx) 2 
wieder den wahrscheinlichsten Werth die 
ser Grösse substituiren. Ganz wie in 6. 
setzen wir unter Voraussetzung der li 
nearen Form der Function: 
also 
S (x + dx) 2 — Ix 2 = I(uda 4- vdb + wdc + .. .) 2 , 
I (x + dx) 2 = I x 2 + I(uda + vdb + wdc) 2 , und 
Ix 2 ist bekannt. I(uda+vdb-Fwdc) wurde in 6) auf die Form gebracht: 
■V- +X 2 
s — 1 
V+V + ... 
nach 6) aber war die Wahrscheinlichkeit des Vorkommens dieses Fehlers; 
kw ß 
•«•(V + 4-p . +i 2 ) 
s—J 
ddaddbddc =: 
-n 2 ^;. 2 
heß d}. L ... dks-idl 
^ ee i,i +e 2,2 • • • 
Es ist hier s als Anzahl der Constan- ... « , — a 2 x 2 
ten genommen, um es von n, welches sc * n müssen (da TFß dx dieWahr- 
ietzt die Anzahl der Beobachtungen an- , ' n , T , 
J ° schemhchkeit des Vorkommens von x 
zeigt, zu unterscheiden. , (li wahrscheinlichsten Werthe die- 
Da nun die Wahrscheinlichkeiten des a 'e wanrscüeinucnsten wertne die 
nach dem ser Quadrate aber durch die Grosse 
Vorkommens von i l5 A s 
Obigen gleich 
« — a 2 ). 2 v 
Y^ e dkl ’ y^ 
a -a 2 ). 2 
TF-ß dU 
— im vorigen Paragraphen gege 
ben wurden, so ist der wahrscheinlichste 
Werth von 
I (uda-{-vdb-\-wdc + . . ) 2 = I}. 2 
2 s 
zu setzen, und man hat mithin 
I{x-\- dx) 2 — Ix 2 2 . 
Es war aber: 
A'(®+ dx) 2 — nt 2 
also 
(ll— s)i 2 — Ix 2 
oder 
Dies ist der wahrscheinlichste Werth des 
mittleren Fehlers, s ist die Anzahl der 
Constanten, n die der Beobachtungen, 
Ix 2 die Summe der wahrscheinlichsten 
Fehlerquadrate; es werden dann die wahr 
scheinlichsten Werthe der Präcision: 
0,7071068 
« = 
« 
und des wahrscheinlichen Fehlers : 
q = 0,6744897 ?. 
9) Ein einfaches Beispiel dieser Me 
thode entnehmen wir einer Abhandlung 
von Theodor Wittstein über diesen Ge 
genstand, welche seiner Uebersetzung 
von Naviers Differenzial- und Integral 
rechnung (Hannover 1848) angehängt ist. 
Diese Abhandlung ist überhaupt bei die 
sem Artikel benutzt, obgleich mit man 
cherlei Ergänzungen und Vervollständi 
gungen. 
Es soll das specifische Gewicht des 
legirten Silbers als Funktion seines Fein 
gehalts dargestellt werden. Sei v der 
Feingehalt des Silbers in Grän (die Mark 
zu 288 Grän), a das specifische Gewicht 
des zur Legirung verwandten Kupfers, 
b die Zunahme des spccifischcn Gewichts 
der Legirung, wenn der Feingehalt um 
ein Grän vermehrt wird, dann ist 
F— a-\-bv 
die gesuchte Funktion, a und b sind zu 
bestimmen. 
Es sind nun 95 Beobachtungen ge 
macht, welche die folgende Tabelle ent 
hält, C ist das beobachtete specifische 
Gewicht der Legirungen, sämmtlich in 
geprägten Münzen bestehend, v der ge 
setzliche Feingehalt derselben.