Quadratur ebener Figuren. 353 Quadratur ebener Figuren. 
des Integrirens auf verschiedenen Wegen 
und der dadurch bedingten Mehrdeutig 
keit der Integrale, Cauchy zu zuschreiben. 
Die Durchführung dieser überaus frucht 
baren Methode hat es nicht allein mög 
lich gemacht, die Integralrechnung von 
vielen ungenauen oder unklaren Ausfüh 
rungen zu befreien, sondern dieselbe auch 
wesentlich gefördert und erweitert. Wie 
sie denn in der Theorie der Functionen 
im Allgemeinen, und der mehrfach pe 
riodischen im Besondern, der Reihenent 
wicklung u. s. w., bereits wichtige Re 
sultate gegeben hat, und namentlich in 
ihrer Ausdehnung auf die Integrale der 
Differenzialgleichungen, welche nament 
lich durch Weierstrass und Riemann be 
gonnen ist, noch Bedeutenderes erwarten 
lässt. 
Quadratur ebener Figuren (Geometrie). 
1) Einleitung. 
Dem Wortsinne nach versteht man un 
ter der Quadratur irgend einer Figur ihre 
Verwandlung in ein Quadrat, d. h. die 
geometrische Construction eines Quadra 
tes, welches mit ihr gleichen Flächen 
inhalt hat. 
Da diese Aufgabe für gradlinige Fi 
guren eine der leichtesten der Elementar 
geometrie ist (siehe den Artikel: Qua 
drat), so kommt sie nur für solche Fi 
guren in Erwägung, welche ganz oder 
zum Theil von krummen Linien begrenzt 
sind. 
Statt eine solche Figur in ein Qua 
drat, kann man sie nach dem Obigen 
anch in eine beliebige von graden Linien 
begrenzte Figur, etwa in ein Dreieck, 
verwandeln, und die Aufgabe ist dann 
gelöst, da letzteres sich sogleich in ein 
Quadrat verwandeln lässt. Bei den mei 
sten Curven ist jedoch eine solche geo 
metrische Construction mittels der Werk 
zeuge der elementaren Geometrie, dem 
Kreise und der graden Linie schlechter 
dings unmöglich, und daher eine solche 
Quadratur im engsten Sinne nicht zu 
leisten. Es ist bekannt, wie viel vergeb 
liche Versuche, z. B. der Quadratur des 
Kreises in diesem Sinne gewidmet wor 
den sind, und wohl von Autodidakten 
noch gewidmet werden. Jedoch ist hier 
ein Erfolg aus dem angeführten Grunde 
unmöglich. 
Nicht zu bezweifeln ist es dagegen, 
dass mit andern mechanischen Hülfs- 
mitteln, als Zirkel und Lineal sind, die 
Quadratur jeder Figur zu leisten ist. 
Jedoch wäre ein solches Beginnen nur 
in wenigen Fällen von einigem wissen 
schaftlichen Interesse. 
Indessen lässt sich dem Worte Qua 
dratur ein andrer aus der Elementar 
geometrie in die Analysis führender Be 
griff unterlegen. 
Bei der Bestimmung des Flächeninhalts 
der Figuren legt man bekanntlich als 
Einheit immer ein Maass unter, welches 
ein Quadrat ist, dessen Seite die als 
Längeneinheit gewählte Strecke bildet. 
(Z. B. Quadratfuss oder Quadratzoll, je 
nachdem ein Fuss oder Zoll die Einheit 
des Längenmaasses ist.) Hat man also 
für den Flächeninhalt einer Figur irgend 
eine Formel oder Zahl, so stellt dieselbe 
eine gleiche Anzahl Quadrate vor, deren 
Seite die Längeneinheit ist, oder einen 
Theil eines solchen Quadrates, der immer 
als Rechteck gedacht werden kann. Da 
nun jede Anzahl von Rechtecken oder 
Quadraten leicht in ein Quadrat, ver 
wandelt werden kann, so ist die Aufgabe 
der Quadratur als gleichbedeutend mit 
der Bestimmung des Flächeninhalts einer 
Figur zu setzen, 
Eine solche analytische Bestimmung 
des Flächeninhalts wird aber nur dann 
eine geometrische Quadratur im engem 
Sinne möglich machen, wenn die Zahl 
oder Formel, welche den Flächeninhalt 
ausdrückt, rational, oder wenn sie die 
Wurzel einer quadratischen Gleichung ist, 
da nur solche Ausdrücke sich geometrisch 
construiren lassen (vergleiche hierüber den 
Artikel: quadratische Gleichungen). 
Unter Quadratur wird hier, wie allge 
mein üblich, also nur die Bestimmung 
der Flächeninhalte zu verstehen sein. 
Für diese Aufgabe gibt die Integral 
rechnung ein allgemeines Mittel, und ist 
dieselbe gewissermassen die geometrische 
Deutung des Integrirens im engem Sinne, 
weshalb dasselbe auch, wie im vorigen 
Artikel geschehen, als analytische Qua 
dratur bezeichnet wird. 
Ehe wir jedoch auf diese allgemeine 
Aufgabe eingehn, wird es nöthig sein, 
auf die Quadratur einiger der bekann 
testen Figuren, soweit dieselben einer 
elementaren Behandlung zugänglich sind, 
hier einzugehen. Wir beginnen dabei mit 
dem Kreise. 
2) Quadratur des Kreises. 
Man kann unter dem Ausdruck Qua 
dratur des Kreises sowohl die Berech 
nung des Flächeninhalts des ganzen 
Kreises, als einzelner Kreisstücke, z. B. 
Sectoren oder Segmente verstehen. Die 
ersteren lassen sich, so wie der ganze 
Kreis mittels einer einzigen Irrational 
zahl, der sogenannten Ludolphschen Zahl 
oder der Zahl n berechnen, welche das 
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