Quadratur ebener Figuren. 
354 Quadratur ebener Figuren. 
Verhältniss der halben Peripherie zum 
Radius ausdrückt; hei der Berechnung 
der Segmente sind ausserdem trigonome 
trische Betrachtungen nöthig. 
Sehr wichtig aber für den Kreis ist 
es, dass die Aufgabe seiner Rectification, 
d. h. die Berechnung der Bogenlängen 
desselben sich auf die Quadratur zurück 
führen lässt und umgekehrt; zu beiden 
Aufgaben nämlich ist dieselbe Grosse n 
nöthig. Nur in seltnen Bällen haben 
Curven diese Eigenschaft. 
Wir geben zunächst die Sätze über die 
Berechnung der einzelnen Flächenstücke 
des Kreises, womit wir zugleich die Be 
rechnung der Bogenlängen verbinden. 
Fig. 34. 
Sei (Fig. 34.) abede ein beliebiger 
Kreisbogen, 0 der zugehörige Mittel 
punkt, ab, bc, cd, de Sehnen von belie 
biger Länge. Verbinden wir die End 
punkte derselben mit dem Mittelpunkte 
0, und fällen von 0 aus auf die ein 
zelnen Sehnen die Lothe 0«, Oß, Oy, 
0&. 
Man erhält dann eine Anzahl von 
Dreiecken (hier 4), und wir bezeichnen 
die Summe der Flächeninhalte derselben 
mit A, es ist dann: 
_ ab-Ou bc-Oß cd-Oy de-Od 
A — —g i 2 1 g— 2—' 
Nimmt man nun an, die Sehnen wür 
den immer kleiner, mehrten sich aber an 
Zahl, so dass der Bogen abede sich 
nicht ändert, so würden sich offenbar die 
Höhen alle dem Radius des Kreises nä 
hern, den wir mit r bezeichnen, wäh 
rend jede Sehne sich dem Bogen nähert, 
welchen sie abschneidet. Es sind dies 
Betrachtungen, zu deren schärferen Be 
gründung man öfter auf die Eigenschaf 
ten des Kreises einzugehen pflegt. Es 
scheint dies aber um so unnöthiger, als 
gleiche oder ähnliche Sätze nicht allein 
für den Kreis, sondern für alle krummen 
Linien gelten, und die Anwendung der 
Infinitesimalrechnung auf die Geometrie 
möglich machen. 
Es wird mithin, wenn die Anzahl ins 
Unendliche wächst: 
A = 1 -{ab-\-bc-\-cd-\-de+ • • •)> 
aber wenn man den Bogen abede mit b 
bezeichnet, denselben für die Summe der 
Sehnen setzt, und berücksichtigt, dass 
unter der angenommenen Bedingung sich 
A dem Sector aOe nähert, den wir mit 
S bezeichnen, so haben wir: 
eine Formel, welche lehrt, einen gegebe 
nen Sector S durch den zugehörigen 
Bogen b und den Radius r des Kreises 
auszudrücken. Vergleicht man diese For 
mel mit der für den Flächeninhalt eines 
Dreiecks, so hat man auch den Satz: 
„Jeder Sector ist gleich einem Drei 
eck, welches den zugehörigen Bogen zur 
Seite, den Radius des Kreises aber zur 
Höhe hat.“ 
Bezeichnen wir die Peripherie des Krei 
ses mit P, den Inhalt desselben mit K, 
so ist klar, dass man sich den ganzen 
Kreis als Sector denken kann, zu dem 
als Bogen die ganze Peripherie gehört, 
und die vorige Formel gibt sonach: 
Dieser Ausdruck gibt die Beziehung, 
welche zwischen Rectification und Qua 
dratur des Kreises stattfindet, welches 
sonach Operationen sind, deren eine die 
andere sogleich ergibt. 
Wir benutzen diese Formel auch zur 
Definition der Ludolph’schen Zahl, wel 
che allen übrigen Betrachtungen zu 
Grunde liegt. 
Bezeichnen wir mit n die halbe Peri 
pherie eines Kreises, dessen Radius die 
Einheit ist, so hat man: 
1 к P 
r = l, K = 2 = n, 
Also n stellt auch gleichzeitig den Flä 
cheninhalt desselben Kreises vor. 
Bekanntlich verhalten sich zwei Bogen 
desselben Kreises, wie die zugehörigen 
Centriwinkel, ein Satz, welcher augen 
blicklich aus dem folgt, dass zu gleichen 
Centriwinkel gleiche Bogen gehören. Sei 
also « der zu Bogen b gehörige Centri 
winkel, den wir uns in Graden ausge 
drückt denken, und berücksichtigen wir, 
dass zur ganzen Peripherie ein Centri 
winkel von 360 Grad gehört, so haben wir