Quadratur ebener Figuren. 356 Quadratur ebener Figuren. 
Die erstere bezeichnen wir mit C, das selbe auf 140 berechnen lassen, Dahse 
letztere mit A. 
Fig. 36. 
Sei AB die Sehne, a der zugehörige 
Centriwinkel, OC ein Loth vom Mittel 
punkt auf die erstere, so wird durch 
dasselbe Sehne und Centriwinkel halbirt, 
und es ist: 
AC—r sin ~ 
oder: 
6) C^=2rsin^-. 
Das Segment ergibt sich, wenn man von 
dem Sector .402? das zugehörige Dreieck 
AOB abzieht. Der Flächeninhalt des 
letztem aber ist (siehe den Artikel: Tri 
gonometrie) 4r 2 sin«, so dass man hat: 
7) A= r - Q^-sin «) (6—r sin«). 
Diese Formel enthält gleichzeitig den 
Winkel « und seinen Sinus. Kömmt es 
also bei irgend einer Aufgabe darauf an, 
aus den Werthen eines Segments und 
des zugehörigen Radius den Centriwinkel 
zu finden, so kann dies nur mittels einer 
transcendenten Gleichung bewirkt werden. 
Es bleibt uns jetzt noch übrig die con- 
stante Zahl n zu ermitteln. 
Man hat sich damit schon im Alter- 
thume beschäftigt, und namentlich fand 
Archimedes durch geometrische Betrach 
tungen, dass dieselbe etwas kleiner als 
22 
-y sein müsse. Andre Mathematiker fan 
den genauere Werthe. Aber Ludolph van 
Keulen (1550 bis 1610) berechnete auf 
eine ähnliche Art diese Zahl bis auf 35 
Bruchstellen, weshalb die Zahl n nach 
ihm benannt worden ist. In neuerer Zeit 
hat man diese Genauigkeit noch weiter 
getrieben, Lagny hat diese Zahl bis auf 
128 Decimalstellen berechnet, Yega die- 
ist bis auf 200 Decimalstellen vorge 
schritten, und selbst diese Genauigkeit 
ist schon überboten. Für fast alle Rech 
nungen reichen 5 bis höchstens 7 Deci 
malstellen aus. 
Eigentliches Interesse ist mit den Be 
rechnungen auf viele Decimalstellen nur 
höchstens insofern verbunden, als dabei 
die Mittel einer sorgfältigen und fehler 
freien Rechnung einer genauen Erwä 
gung unterliegen. 
Die ersten 140 Decimalstellen sind: 
я = 3, 14159 26535 88793 23846 26433 
83279 50288 41971 69399 37510 58209 
74944 59230 78164 06286 20899 86280 
34825 34211 70679 82148 08651 32823 
06647 09384 46095 50582 26136 • • • 
Was die Methoden zur Berechnung 
dieser Zahl anbetrifft, so hat man sich 
vor Erfindung der Infinitesimalrechnung 
fast ausschliesslich der Betrachtung und 
Berechnung der regelmässigen Vielecke 
bedient, indem man den Flächeninhalt 
des Kreises mit dem eines solchen von 
sehr viel Seiten identificirte, oder seine 
Peripherie dem Umfange eines solchen 
Vieleckes gleich setzte. Offenbar ge 
langt man auf diese Weise zu einer be 
liebigen Annäherung, d. h. auf den Werth 
von л auf beliebig viel Decimalstellen. 
Will man jedoch sehr viel dergleichen 
haben, so wird die Berechnung sehr be 
schwerlich, und Ludolph van Keulen be 
diente sich selbst nicht einmal der ein 
fachsten Formeln, die hier zum Ziele 
führen. Wir werden hier zwei solche 
elementare Methoden zur Berechnung von 
n geben. 
3) Berechnung der Zahl я auf 
elementarem Wege. 
Fig. 37,