Quadratur ebener Figuren. 357 
Quadratur ebener Figuren. 
Sei (Fig 37.) AB die Seite eines be 
liebigen in den Kreis um 0 eingeschrie 
benen regelmässigen Vielecks, OD die 
Höhe des Dreiecks AOB. Hat das Viel 
eck n Seiten, so ist also AOB der nte 
Theil desselben, AOD der 2nte Theil. 
Verlängert man OD bis zur Peripherie 
des Kreises nach C, und zieht AC, so 
ist dies die Seite des Vielecks von 2n- 
Seiten, OE möge die Höhe desselben 
sein. 
Man hat dann: 
oder wenn wir statt q und ff in Bezug aufs 
2nEck r j, F l , fürs 4nEck r 2 , F 2 , fürs 
SnEck ?’ 3 , F 3 schreiben, so haben wir: 
AC 2 — AD 2 + DC* = AO*-OD 2 
-\-{0C-0Dy=z0C 2 -0D*+(0C-0D) 2 
= 20C 2 -2 OC- OD=20C{OC-OD). 
Also wenn wir die Seite des nEcks mit 
s, die des 2aEcks mit a, den Radius des 
beiden umgeschriebenen Kreises mit R, 
den Radius des dem nEck eingeschrie 
benen Kreises (OD) mit r bezeichnen, 
so ist: 
a 2 = 2R(R-r). 
Es ist ferner, wenn wir mit q den 
Radius des dem 2«Eck eingeschriebenen 
Kreises bezeichnen: 
und nach Bestimmung dieser Grössen: 
r,, r 2 ' • • r s kann man setzen: 
d. h. 
2) F s 
Die Ausdrücke F g , r beziehen sich auf 
oder wegen des eben gefundenen Aus 
drucks für a: 
n R{R-r)_R{R+r) 
Q —2 — 2 * 
Da durch diese Formeln sich Seite und 
Radius des eingeschriebenen Kreises des 
2nEcks finden lassen, wenn man die 
letztere Grösse fürs wEck kennt, so las 
sen sich dieselben Ausdrücke für 4wEck, 
8«Eck u. s. w. nach und nach berechnen. 
Die Dreiecke ADO und ACO haben 
gleiche Höhe AD, sie verhalten sich also 
wie die Grundlinien OD und OC, d. h.: 
ADO r 
ACO — R’ 
beide Dreiecke sind aber bezüglich die 
2wtenTheile des «Ecks und des 2wEcks. 
Bezeichnet man also den Flächeninhalt 
des ersteren mit F, des letzteren mit y, 
so ist das Verhältnis dieser Grössen 
dasselbe als der Dreiecke, also 
F_r 
ff> R 
oder 
RF 
Wir nehmen jetzt an, der Radius R des 
umgeschriebenen Kreises sei gleich der 
Einheit, so werden die Formeln für <f 
und p sich verwandeln in: 
das Vieleck von 2**n Seiten. 
Was auch n sei, so kann man s so 
gross nehmen, dass sich r g auf eine be 
liebige Anzahl Decimalstellen, etwa auf 
7, dem Radius des umgeschriebenen 
Kreises, d. h. der Einheit nähert, und 
man sieht dann ein, dass sich in dem 
selben Masse F dem Kreise mit Halb- 
s 
messer 1, d. h. der Zahl n nähert. 
Man kann also auf eine gleiche An 
zahl Decimalstellen F mit der Zahl n 
s 
identificiren, da die folgenden r im Nen 
ner, also r s ,r g+i nur in den folgenden 
Decimalstellen von Eins abweichen. Der 
Berechnung von Fg—n nach Formel 2) 
muss also die successive Berechnung der 
r nach Formel 1) vorangehen, und man 
setzt diese Rechnung so lange fort, bis 
r für die beabsichtigte Anzahl von Bruch 
stellen nicht mehr von Eins abweicht. 
Die Zahl n, mit der man beginnt, ist 
beliebig. Fangen wir z. B. mit dem re 
gelmässigen Viereck an, so ist bekannt 
lich der Flächeninhalt desselben gleich 
dem doppelten Quadrat des Radius R, 
also hier gleich 2, Die Seite des Vier 
ecks ist gleich R]/2, also hier gleich / 2 
und der Radius 
Es ist somit: