Quadratur ebener Figuren. 359 Quadratur ebener Figuren. 
Der wahre Werth von Ign ist: 
lg n - 0,49714987269413385435127. 
Es ist also bei dieser Rechnung nur ein 
Fehler gemacht, welcher weniger als 
eine Einheit der letzten Stelle beträgt. 
Sind mehr als 7 Decimalstcllen ver 
langt, so wird man sich der Formeln la 
und 2a selbst bedienen. 
Wir knüpfen hier noch eine zweite 
Methode an, die auf dieselben Grund 
lagen sich stützt. 
Fig. 38. 
Sei (Fig. 38.) oh die Seite des 2«Ecks, 
do, bo Halbmesser, ab die Tangente für 
Punkt b, ogf ein Loth auf db, de paral 
lel ab, und setzen wir: 
A deo — g, abo = v, dbo = g f , fho — ^v'. 
Es ist dann: 
g der 2nte Theil des eingeschriebenen 
nEcks, 
j/ der 2nte Theil des eingeschriebenen 
2«Ecks, 
v der 2nte Theil des umgeschriebenen 
nEcks, 
v f der 2wte Theil des umgeschriebenen 
2nEcks > 
Die mit rf und g bezeichneten Dreiecke 
haben die Höhe de gemein, und verhal 
ten sich wie die Grundlinien ob und oe. 
Die mit ?]' und v bezeichneten Drei 
ecke haben ebenfalls die von b ausge 
fällten Höhen gemein, und verhalten sich 
wie die Grundlinien od = ob und oa; man 
hat also: 
und 
tf :g — ob:oe 
rf :v = ob:oa, 
also durch Multiplication: 
T) 2 : gv — ob 2 : oa'Oe. 
Wegen der Aehnlichkcit der Dreiecke 
ode und oha, ist aber: 
ob: oe = oa:od 
oder 
ob: oe~oa:ob, 
d. h. 
ob 2 = oa • oe, 
also auch: 
7]' 2 =t]V] 
offenbar aber ist auch: 
v:g=:ob 2 : oe 2 , 
da sich ähnliche Dreiecke wie die Qua 
drate gleichliegender Seiten verhalten, 
und aus demselben Grunde: 
4-i/: heo =zob 2 : oe 2 , 
also: 
v: g — \v’ :heo. 
Aber es ist: 
heo — ^o'—fbeh, 
und man hat: 
fbeh=fbg+gbeh, fbg^hdg, 
hdg-\-gbeh—dbe—g r — g, 
also: 
fheh — g'— g, heo — \o'-\-g—g', 
und dies in die obige Proportion ein 
setzend erhalten wir: 
v.g^W :\v r + g—g r , 
d. h. 
i/o—2 v{r'—g) — gu > 
oder: 
v'(v—g) = 2v(g f —g). 
Wenn man links für v noch seinen aus 
der ersten Relation gezogenen Werth 
r>' 2 
-— setzt, so erhält man 
n f 
~(g' 2 -g 2 ) = 2l(g' — g), 
*1 
d. h. mit Hinweglassung des Factors 
g'-g: ' 
V -W+r,) = 2v 
oder: 
, 
v . 
V+ V 
Bezeichnet man nun: 
den Flächeninhalt des eingeschriebenen 
nEcks mit JE, 
den des umgeschriebenen nEcks mit U, 
den des eingeschriebenen 2nEcks mit E f , 
den des umgeschriebenen 2nEcks mit V f , 
so ist: 
E U , E f , U f 
,= 2m’ * = ä? * = 2^’ * = 2^’ 
also verwandeln sich unsere beiden Glei 
chungen :