Quadratur ebener Figuren. 360 Quadratur ebener Figuren. 
t/ 2 — )IV und v'~ 
2vt] 
Ч'+Ч 
I) £^V(EJ7), 
II) JJ>- ' 2UE . 
' E+E r 
Von diesen ebenfalls nicht unbequemen 
Formeln lehrt I zunächst, aus den gege 
benen Flächeninhalten eines eingeschrie 
benen und umgeschriebenen Vielecks von 
derselben Seitenanzahl den Flächeninhalt 
des eingeschriebenen Vielecks von der 
doppelten Seitenanzahl finden. Mittels 
dieser Grösse gibt dann Formel II den 
Flächeninhalt des umgeschriebenen Viel 
ecks von der doppelten Seitenanzahl. 
Man kann dann durch Wiederholung 
dieses Verfahrens zu Vielecken von der 
4, 8 u. s. w. fachen Seitenanzahl, also 
wenn man den Radius gleich Eins nimmt, 
schliesslich zur Zahl n gelangen. Das 
Criterium dafür, dass man sich derselben 
bis auf eine beliebig zu bestimmende 
Bruchstelle genähert habe, ist, dass die 
Grössen E r und V bis auf diese Bruch 
stelle einander gleich sein müssen. Die 
Formeln I und II sind indess nicht ganz 
so bequem, als die beim ersten Verfah 
ren benutzten. 
Indess kann man sie noch etwas ein 
facher machen, wenn man zunächst nicht 
n selbst, sondern seinen reciproken Werth 
— sucht, 
n 
Sei zu dem Ende: 
E 
~ e ’ U~ U ’ 
so wird die Formel II die Gestalt an 
nehmen : 
2_ 
1 ue 
d. h. 
i+л’ 
e e r 
, и . ue 
u ~T + ^’ 
während die Formel I ganz ihre Gestalt 
behält, also 
la) e' = y(eu) 
gibt. Hieraus erhält man aber auch: 
ue , 
V~ e V 
und es wird daher die Ute Formel geben: 
u -(- e' 
Diese Formel ist viel einfacher, als die 
mit II bezeichnete. 
4) Berechnung derZahl n durch 
Reihenentwicklung. 
Die Entwicklung der trigonometrischen 
Functionen in Reihen gibt aber weit 
bequemere Methoden zur Berechnung 
von n. 
Wir werden hier nur einige dieser 
Formeln geben, deren Anzahl man sich 
leicht wird vermehren können. 
Ist a ein beliebiger Bogen eines Krei 
ses, dessen Radius die Einheit ist, so hat 
man bekanntlich: 
arc tang « = «г-i « s + p-« 5 —^ « 7 
o O i 
-f- — а 7 — 
9 
eine Reihe, welche convergir!, so lange 
a nicht grösser als Eins ist. (Siehe die 
Artikel: Reihen und Trigonometrie.) 
Für die Grenze Eins selbst convergirt 
sie noch aus dem Grunde, weil die Zei 
chen der Glieder abwechselnd positiv und 
negativ sind, hat aber dann die Eigen 
schaft, dass die Summe von der Anord 
nung der Glieder abhängig wird (ver 
gleiche den Artikel: Reihen). Da nun 
der zur Tangente Eins gehörige Bogen 
der 8te Theil des Kreises, also gleich 
~ ist, so hat man 
4 
arc tg 1 = — 
und 
л = 4(!-д +5 — 7+9 -•■•)• 
Diese merkwürdige von Leibnitz her 
rührende Reihe ist aber von sehr lang 
samer Convergenz, und daher zur wirk 
lichen Berechnung von n ganz ungeeignet. 
Indess kann man aus der allgemeinen 
Formel leicht andre Theile von n in 
schneller convergirende Reihen ent 
wickeln. 
So z. B. gehört zu einem Winkel von 
30° bekanntlich ein Sinus, dessen Werth 
у und ein Cosinus, dessen Werth 3 
beträgt. Es wird also die Tangente die 
ses Winkels gleich —pz sein. 
Уз 
Der entsprechende Bogen aber ist der 
71 
12te Theil der Peripherie oder — und 
0 
Ha) ft': 
2 ' 
man hat also, wenn man 
n 1 _ УЗ 
6 уз ~ 3 
arc tg « :