Quadratur ebener Figuren. 363 Quadratur ebener Figuren. 
I 
'Fi*. 39. 
pokrates (450 v. Chr.) an. Der sie um 
fassende Satz wird der Gestalt der Fi 
guren wegen gewöhnlich der von den 
„Möndchen des Hippokrates“ (lunulae 
Hippocratis) genannt. 
Errichte man (Fig. 39.) über dem 
Durchmesser AB eines Halbkreises das 
rechtwinklige Dreieck AcB, und schlage 
über Ac und Bc als Durchmesser Halb 
kreise, so entstehen 2 halbmondförmige 
Figuren Adce, cfBg, deren Flächen 
inhalt zusammen gleich dem des Drei 
ecks AcB ist, sich also augenblicklich 
in eine gradlinige Figur und mithin in 
ein Quadrat auf geometrischem Wege 
verwandeln lässt. 
Offenbar nämlich ist; 
Halbkreis AdcfB =nAB‘, 
Halbkreis Ace — nAc 2 , 
Halbkreis cBg —ncB 2 , 
also: 
AceA-cBg — n (Ac 2 + cß 2 ) = n AB 2 . 
Da nämlich ABc ein rechtwinkliges 
Dreieck ist, hat man 
Ac 2 + cß 2 — AB 2 , 
hieraus folgt: 
Ace+cBg = AdcfB; 
zieht man auf beiden Seiten dieser Glei 
chung die Segmente Ade und cfB ab, 
so bleibt: 
AdceA-cfBg — AcB, 
Im Allgemeinen ist es unmöglich, je 
des der Möndchen einzeln zu quadriren. 
In dem Falle gelingt es aber natürlich, 
wenn AC=CB, also auch beide Mönd 
chen gleich sind, wo dann jedes gleich 
der Hälfte des Dreiecks ACB ist. Unser 
Satz lautet dann: 
„Errichtet man über der Sehne AB 
eines Quadranten einen Halbkreis Aeb, 
so ist das von diesem und dem Yiertel- 
kreise eingeschlossene Möndchen gleich 
dem Dreiecke AcB.* 1 
Dies Möndchen ist jedoch nicht das 
einzige, welches sich quadriren lässt. 
Um mehr dergleichen zu finden, stellt 
Clausen (Grelles Journal 1840) folgende 
Betrachtung an. 
Fig. 40. 
Sei (Fig. 40.) AOBE ein beliebiger 
Kreissector, ODE senkrecht auf Sehne 
AB; in dieser Linie ist, Punkt C als 
Mittelpunkt eines zweiten Kreises ange 
nommen, der dann auch durch A und 
B geht, und Sector AE'BC bildet. 
Wir wollen Punkt C so bestimmen, 
dass Sector AE'BC— AEBO ist; offenbar 
ist dann auch das Möndchen AEBE' 
gleich der gradlinigen Figur AOBC, also 
auf geometrischem Wege quadrirbar. 
Sei 
AO-=r, AC— q, 
Winkel AOE = g, Winkel ACE'=9, 
so sind, wenn man sich g> und 9 in 
Bogenmass dargestellt denkt, d. h. als 
Bogen eines Kreises, dessen Radius 1 
ist (Abschnitt 2, Formel 4a): 
Sector AOBE — r^g, 
Sector ACBE' = q 2 9, 
also vermöge unserer Annahme: 
r^g = q 2 9. 
Ausserdem aber hat man: 
also 
AD = r sin q = Q sin J, 
r sin g — Q sin 9-.