Quadratur ebener Figuren. 364 Quadratur ebener Figuren. 
Nehmen wir jetzt an, m und n seien 
beliebige ganze Zahlen, und 
(f — ma, 9 = na, 
so ist: 
r 2 m = g 2 n, 
ry(m) = oy(n) 
und 
r sin sinw«, 
aus welchen beiden Gleichungen sich 
ergibt: 
V(«) shima — \(m) sinn«. 
Nimmt man n und m irgend wie an, 
und lässt sich dann sin« geometrisch 
construiren, so sind nach den Grund 
sätzen der Trigonometrie auch sinnt« und 
sin na geometrisch construirbar, also 
_ r sin ma 
® sin na 
ebenfalls; es ist also dann der Punkt 0 
bekannt, und ihm entspricht das qua- 
drirbare Möndchen AEBE'. Dies gelingt 
in folgenden 4 Fällen. 
1) Sei 
n~ 2, m — 1, 
also: 
4(2) sin « = sin 2« = 2 sin a cos a, 
d. h. 
3) Sei 
n=3, m— 2. 
y3 sin2«=y2sin3ß=y2 (sin 2« cos «+ 
cos 2« sin ß) 
oder wenn man sin2« = 2sin« cosß setzt: 
2y3 sin ß cos «=y2 sin «(2 cos « 2 + cos 2«) 
2y31/ 1 + ^ os2( * = V2 (2 cos 2«+1) 
y3y(l + cos2«) = l + 2cos2« 
cos2ß 2 + r cos 2« = i 
4 2 
cos2ß = —1 + ~ 
Das untere Zeichen gibt für (f und 9 
stumpfe, das obere spitze Winkel. 
4) Sei 
n—5, m — 1, 
also: 
sin 5ß 
=ys 
oder 
V5= 
sin 4ß cos«+cos 4« sin « 
y2‘ 
Diesem Ausdrucke entspricht Winkel 
« = 45° und das entsprechende Möndchen 
ist das des Hippokrates. 
2) Sei 
n = 3, jw = 1, 
also: 
y(3)sin « = sin 3« = sin« cos2« + cos« sin2ß, 
d. h. 
sin«(y3—cos2ß) = cos « sin 2« 
oder wenn man 
oder; 
sin « 
4cos « 2 cos2ß+2cos2ß^ — 1 
yö+l = 4 cos 2« 2 +2 cos 2« 
co S 2« = ±f6W6-l 
Hier ist jedoch das negative Zeichen der 
Wurzel zu verwerfen, da ein Werth sich 
ergeben würde, welcher abgesehn vom 
Vorzeichen grösser als 1 ist, man hat 
also: 
cos 2« 
+l/5+4yö-l 
• .,/1 — cos 2« /l + cos2« 
smn = l/ , cosn=i/—I 
\ 2 \ 2 
setzt: 
(1—cos 2«) (y3—cos 2«) 2 = 
(l + cos2ß) (1—cos 2« 2 ), 
d. h. 
(y3—cos2«) 2 = (l + cos2«) 2 
oder: 
y3—cos2«— +(1+ cos 2«). 
Das untere Zeichen ist natürlich zu ver 
werfen, und man erhält: 
cos2ß = ^(yS— *)‘ 
Es ergeben sich hieraus die den vier 
Fällen entsprechenden Winkel <f> und 9. 
Fall 1) n = 45°, y =45°, i9- = 90°. 
Fall 2) cos 2« = 0,3660254. 
2ß=68°30', 7 =34° 15', tf=102°45'. 
„ i, Q , 0 1 , 5,7445626 
o 8 
Also wenn das obere Zeichen gilt: 
s 0 4,7445626 A KnoA7AO 
a) cos 2« = g = 0,5930703, 
2«= 53° 38', «=26° 49', 7, = 53° 38', 
# = 80° 27'. 
Gilt dagegen das untere Zeichen, so ist: