Quadratur ebener Figuren. 365 Quadratur ebener Figuren. 
b) COS 2«: 
6,7445626 
8 
-0,8430703, 
2« = 147° 28', «=73° 44', 
(f =147° 28', 9 =221° 12'. 
Da der Centriwinkel ACB aber gleich 
29-, also gleich 442° 24' ist, so sieht 
man, dass in diesem Falle der entspre 
chende Sector grösser, als der ganze 
Kreis ist. In diesem Falle ist also das 
Viereck durchaus keiner mondförmig be 
grenzten Figur gleich. Wir unterlassen 
die geometrische Deutung dieses Falles 
wegen des geringen Interesses, den er 
gewährt. 
Fall 4) 
1/13,9442720-1 2,734203 
cos 2u — — —, = . 
4 4 
= 0,683551 
2« = 46° 53', 7 = 23*264', 9 = 117*12'! 
6) Quadratur der von Kegel 
schnitten begrenzten Flä dien 
stliche. 
Fig. 41. 
es sich um die Bestimmung des Flä 
chenstücks gdbh (Fig. 41.) handeln, wel 
ches von einem Theile der Abscissenaxe, 
zwei Ordinaten und einem Stücke der 
Parabel eingeschlossen ist. Es sei 
gh = y, db=y', 
ogz=.x, od—x'. 
Die Quadratur von Stücken, die von 
graden Linien und einer Parabel, Ellipse 
und Hyperbel begrenzt sind, gelingt im 
mer anf elementarem Wege, jedoch ist 
wohl zu bemerken, dass hier nicht, wie 
beim Kreise, Rectification und Quadratur 
von einander abhängen. Bei Ellipse und 
Hyperbel führt die Rectification sogar 
zu neuen, in der elementaren Mathema 
tik nicht zu behandelnden Functionen. 
Beginnen wir mit der Quadratur der 
Parabel. 
y 2 = 2px 
ist die Gleichung einer solchen. Wir 
denken uns diese Gleichung im Allge 
meinen auf schiefwinklige Coordinaten 
bezogen, wovon die eine x ein beliebiger 
Durchmesser, die andre y eine Tangente 
ist, die durch den Punkt geht, wo die 
ser die Parabel trifft. Beide mögen 
Winkel ^ mit einander machen. Möge 
Wir denken uns gd in verschwindend 
kleine Theile r lf r 2 , r 3 u.s.w. getheilt, 
so dass gl-=r 2 , lm = r 2 . . . ist, die 
zu gl . . . gehörigen Ordinaten bezeich 
nen wir mit y l ,y 2 ,y 3 . . ., dieAbscissen 
mit x l ,x 2 ,x 3 ... Es werden dann glih, 
ilmf ... sich Rechtecken nähern, deren 
Seiten bezüglich r, r\, r 2 , r 3 . . ., 
y, yi, y.j, . sind, Wohl zu mer 
ken, brauchen r, r t , r 2 , r 3 ... nicht 
untereinander gleich gedacht zu werden, 
wenn diese Strecken sich nur der Null 
nähern. Man hat nun, da Figur; 
ghil=zgl'ghsin% — ry sin^ 
ist und Aehnliches für die andern Figu 
ren gilt: 
hgdb = sin x (ry+r l y l +r^y 2 +-+r s y s ). 
Das Gesetz, nach dem die Grössen r 
sich auseinander ergeben, ist ganz gleich 
gültig, jedenfalls aber ist 
-X = r, X y—X. =r. 
n— 1 
Nehmen wir an, es sei: 
x l —Xx, x 2 = Aa;, = X 7 x, x 3 = k 3 x , . ,,x n = X n x, 
also; 
r = * l - ; r=a;(A-l),r l =a: i -:r l = >U(I-l) . . ., r n _ ( = j 
= X x(l — 1), 
so werden die Grossen r in der That verschwindend klein, wenn man X sich der 
Einheit nähern lässt. 
Nach der Gleichung der Parabel aber ist: 
y i *=2px l =2pXx, y z ‘ i —2px 2 —2pl 2 x . . ., = 2pX n x-,