Quadratur ebener Figuren. 370 Quadratur ebener Figuren. 
U v ‘zzz sin 1/ — sin V, 
d. h. 
und man erhält ebenso: 
2 cos v 
2 cos 2 c 
sin V Sin V 
sin 2(/ — sin2c 
2v 
Dies in den Werth von A eingesetzt ergibt, mit Berücksichtigung, dass 
l=f(s + l) 
n~ 0 
ist, und dass die Gleichungen: 
V l -v=y, V i ~V i = U • • • u s+1 ~v $ = 
sämmtlich addirt geben: 
v s+ l —v = (s + l)y, s +1 = 
S + l 
A — -fr 2 (v'—v)—2r s (sin i/—sin a) + ^(sin2(/— sin 2c). 
Sucht man den Flächeninhalt eines 
ganzen Zweiges, so ist v = 0, v'— 2rt 
zu nehmen, und man hat: 
A=z3ir\ 
Diese Formel mit der in Abschnitt 2) 
gegebenen: 
K— nr- 
v er glichen, sagt: 
„Der Flächeninhalt eines Zweiges der 
Cycloide ist das dreifache des Flächen 
inhalts des Erzeugungskreises,“ 
8) Allgemeine Lösung des Pro 
blems der Quadraturen mittels 
der Infinitesimalrechnung. 
Die allgemeinen Quadraturformeln sind 
eben nur die Ausführung der hier in 
einzelnen Beispielen gegebenen Methode. 
Fig. 44. 
Mögen (Fig. 44.) OY und OX zwei 
Coordinatenaxen sein, die wir uns der 
Allgemeinheit wegen schiefwinklig auf 
einander denken, so dass sie den Win 
kel ip mit einander bilden. Seien ec=y, 
vf—y r beliebige Ordinaten, 0e = ic, 0f—x' 
die zugehörigen Ahscissen und soll das 
Flächenstück efdc berechnet werden, so 
nehme man Punkte c 1? c 2 • • • beliebig, 
aber nahe an einander auf der Curve 
an, ziehe die Sehnen c c t c , • • • c^d 
und c 1 e l =j/ l , c 2 e 2 = 2/a ‘ * P ara bel 
der Axe OY. Es entstehen dann eine 
Anzahl Trapeze, deren Summe sich in 
dem Masse dem Flächeninhalte von cefd 
nähern wird, als die Punkte c,CpC 2 * •• 
an einander rücken. Es ist nun der 
Flächeninhalt eines Trapezes cee l c l 
bekanntlich gleich der halben Summe 
der beiden parallelen Seiten y-\-y\ mal 
der dazwischen liegenden Höhe ee l smif. 
Es ist nun 
ec l — Oe l —Oe = x l —x, 
also: 
=fr±gdfcx*) 8i „,. 
oder wenn man in gleicher Weise alle 
Trapeze berechnet: 
-)_ lim f(yi +y)Oi-aQ O/a+jGKs,—*,) , (y«+g«) (*»-««) 
cefd = lim [V ' + w —" ‘-"'f Zi< + • 
+ 
(y'+yj (x f —x, 
n)l . 
— I Sin (f. 
oder, da man x g — x g+l —dx, y g +y g _ i —2y s +dy g setzen kann: