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Quadratur krummer Oberflächen. 386j Quadratur krummer Oberflächen. 
Fig. 53. 
und wenn AL, BL senkrecht auf Linie 
LB = r sin#, Winkel 
also: 
AB = r sin Hdrp. 
Es ist also der Flächeninhalt unseres 
Rechtecks gleich: 
AB • AC = r 7 sin 9dHdy. 
Offenbar aber ist, wenn r sich auf einen 
beliebigen Punkt A der gegebenen Ober 
fläche bezieht, dieses Rechteck die Pro 
jection desjenigen Elements der Ober 
fläche, welches durch Punkt A geht, und 
von beiden Kegelflächen und beiden Ebe 
nen abgeschnitten wird, auf die Kugel- 
ffäche, welche r zum Radius hat, also 
durch Punkt A geht. Ist also dS dies 
Element und s der Winkel seiner Nor 
male mit Radius r der Kugel, so ist: 
und AB — r sin Hdy als rechtwinklige 
Coordinaten betrachten, x und y, deren 
drei mit x = y = z für Punkt A beginnen, 
so entspricht dem Zuwachse dx — rdH: 
ox gezogen sind: 
ALB = Winkel N031 —dy, 
Es wird also auch sein: 
dz _ dr dH _ 1 dr 
dx dH tix r dH' 
dz dr dy 1 dr 
dy dy dy rsinH dif' 
und wenn man diese Ausdrücke in den 
eben gewonnenen Werth von cost: 
einsetzt: 
cos i = 
r sin H 
sin H 2 + - 
i 
dz , dr 
t dx zz-^-dH, 
ox dH 
dy = r sin Hdy: 
=J r .l, rdHdy 
Für eine ganze geschlossene Oberfläche 
ist zu setzen: 
Als Begrenzung wird am bequemsten 
der Durchschnitt der Oberfläche mit 
zweien unserer Kegelflächen, die den 
constanten Werthen H und H' ent 
sprechen, so wie mit 2 durch OX gehen 
den Ebenen, für die y und y f die ent 
sprechenden constanten Winkel sind, ge 
nommen, und man hat: 
winkligen Coordinaten für diesen Fall in 
Theile zerlegt werden muss, die den 
Richtungen beider Axen entsprechen. 
Bedeutend grössere Schwierigkeiten macht 
aber die Quadratur in Polarcoordinaten, 
wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist. 
2) Quadratur der Rotations 
flächen. 
Viel einfacher ist die Formel