Quadratur krummer Oberflächen. 387 Quadratur krummer Oberflächen. 
für die Quadratur der Rotations 
flächen. 
Habe die ebene Curve, aus deren 
Rotation die Oberfläche entsteht, die 
Gleichung: 
f(x, y)=0, 
wo man als Axe der X immer die Ro- 
tationsaxe betrachten kann, so wird bei 
der Drehung jeder Punkt B die zugehö 
rige Abscisse x behalten. Die Linie AB 
aber (Fig. 54), die in der ebenen Curve 
die Ordinate vorstellte, ist jetzt die Ent 
fernung des Punktes A von der Axe 
der x. Bezeichnen wir dieselbe mit p, 
so ist also die Gleichung der Oberfläche 
f(x, ()) = 0, 
und wie wir auch die auf OX senkrech 
ten Axen OY und 0Z im Uebrigen für 
die Oberfläche annehmen, es wird im 
mer sein: 
C 2 = y‘ iJ r» s - 
Denken wir uns jetzt ein Stück der 
Oberfläche, abgeschnitten von 2 unend 
lich nahen, durch OX gehenden Ebenen, 
Eig. 54. 
BA — AE—q, 
BE = geld-, 
BD 1 = ds 2 =\(dx 3 -{-dg 2 '). 
Offenbar nämlich ist BD das Element 
der erzeugenden Curve, welches be 
kanntlich (siehe den Artikel: Rectifica 
tion) als Hypotenuse eines rechtwinkli 
gen Dreiecks zu denken ist, dessen Ca- 
thetea die Werthe: BG = dx, DG = dp 
haben. Es ist also das Rechteck 
dV—BE-BD, 
oder: 
dV= e dadx^i+i£. 
Die Integration erstreckt man auf das 
von zwei beliebigen, durch OX gehende 
Ebenen, welche die Winkel 9- und 9' 
mit Ebene xy machten, und von zwei 
auf OX senkrechten Ebenen, welche die 
Abscissen x und x f haben, abgeschnittene 
Stück. Man hat dann: 
f =/T"/IV i+ (£) v 
oder da die Integration nach 9- sich voll 
ziehen lässt: 
Diese Formel führt also zu einem ein 
fachen Integral. 
Soll ein Stück berechnet werden, wel 
ches zwischen zweien während der Ro 
tation beschriebenen vollen Kreisen liegt, 
so ist zu setzen: 
9=0, 9' = 2 rr. 
ACDO und ACFE, ferner durch 2 auf 
OX senkrechte, ebenfalls einander un 
endlich nahen Ebenen, BAE und DEF. 
Sei 
Winkel BAE — d9, 
so ist 9 offenbar der Rotationswinkel, 
d h. diejenige Drehung, welche gemacht 
wird, damit die Curve von ihrer anfäng 
lichen in die augenblickliche Lage kommt, 
ferner: 
/ x' 
x tg u sec a d. 
x 
3) Beispiele für die Rotations 
flächen. 
Wir geben zunächst Beispiele zur letz 
teren einfachen Formel. 
Für einen Rotationskegel ist die Er 
zeugungslinie eine grade, die wir durch 
den Anfangspunkt 0 gehen lassen. Es 
ist dann: 
()=xtg a, 
wo cc der halbe Scheitelwinkel des Ke 
gels ist, und : 
(9 r — 9) 
:=-—-—- tg u sec a (x' a —x 3 ). 
U 
Für den Cylinder ist die Erzeugungs- V= {&'—9) (x r —x) o. 
linie der Rotations - Axe parallel, also j) as Rotationsellipsoid, dessen Rota- 
q constant zu nehmen. Es ergibt tions-Axe die grosse Axe X ist, bat 
sich : zur Gleichung: 
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