Quadratur krummer Oberflächen. 388 Quadratur krummer Oberflächen. 
a 2 ^ b* ’ 
es ist; 
y 
3 ^ * -f-3^ 2 fr * 
i/x s 
pa J 
d. h. 
e=-V( ffl, - a;2 )r 
#t/;c prfp 
— + TT =°» 
er 6 2 
also: 
do 
dx 
i»'-») b r x \/ 
y~ ^ j ya* —x 2 (es 2 — b 2 )dx. 
Es ergibt sich nach II28) der Integral 
tafeln hieraus: 
r=(,,.-,„. + .in (iip!)]. 
wo die untere Grenze gleich Null genommen ist, also die Integration vom Mittel 
punkte aus begonnen ist. Setzt man: 
i)' — 2n, &=.0, x — a, 
so erhält man das halbe Ellipsoid, nämlich: 
T 2 
xb 2 
pet 2 
~x . / 
V=2nb 
2 + 2]/« 2 -6 2 
. /y« 2 -6 2 \l 
are sin jj. 
Eür die Kugel ist b~a. Lässt man für E=2 na 2 , 
dieselbe zunächst ]/(« 2 -6-') unendlich als F i ächeninhalt der Halbkugel, 
klein weiden, wo cann: Das abgeplattete Ellipsoid ergibt sich 
( ]/a* —b 2 \ Ya't — b 2 aus demselben Integral, wenn man b 
1 = —- • grösser als a annimmt. Die Integration 
^ führt dann aber auf einen andern Aus 
druck. Es ist dann nämlich zu setzen: 
arc sin 
wird, so hat man : 
V—{!)' — d) h 
B ,A AIM + 27 =L= * 
+ 1 A + ^ f A))], 
und für das halbe Ellipsoid: 
r —2a b p 
L 
2 + 2 Y^—a 2 
ig Y~~~\ 
Das Rotations-Hyperboloid, welches durch Drehung um die reelle Axe entstan 
den ist, hat zur Gleichung: 
a 2 b 2 ~ 
Die Formel für V ergibt sich aus dem Integral fürs Ellipsoid, wenn man darin 
überall —6 5 für b 2 schreibt. Man erhält: 
lj /»T 
v={b'~0)— j Yx 2 {a*+b*y^' dx. 
X 
Aus den Integraltafeln II 28 ergibt sich: 
f Yx 2 {a 2 -f- ¿i 2 ) — a 1 dx Yx 2 (a' 1 -f b 2 ) — « 4 
u 
also: 
^~===\g{xY a * + b 2 +Yx 2 (a*+b')~a*),