Quadratur krummer Oberflächen. 389 Quadratur krummer Oberflächen. 
F=(»'—$)6 JL]/x*(a*+b*) 
= ] g i a?]/« 2 +6 2 
2 Ya^ + b 
') -{*’-») b 
+ ]/jr"(a 2 +6' 2 ) — 1 | — 
wo die Integration in den Grenzen x = a, x'=zx vollzogen ist 
Das Hyperboloid, welches durch Drehung einer Hyperberum die imaginäre 
Axe entstanden ist, hat zur Gleichung: 
Es ergibt sich: 
x > 
V — (,V— ») p ^(«^+ **) + «* dx > 
a J x 
d. h. wenn man die Integration mit Q~b, also mit a: = 0 beginnt: 
+ i2) + ftl + 2V^+P lg ^ a " + b2 
V=(y-»)b 
+Yx <l {a t + b ì ) + a*) I—(.9'— &)b 
Die Annahme der untern Grenze der Integration für beide Hyperboloide be 
ruht darauf, dass in den entsprechenden Punkten, wie leicht zu sehen, die reellen 
Punkte der Flächen beginnen. 
Beschäftigen wir uns jetzt noch mit dem Paraboloid, welches durch Drehung 
einer Parabel um ihre Hauptaxe entstanden ist, und dessen Gleichung sein wird: 
also : 
•/ x 
also, wenn man mit #=:0 beginnt: 
V = —~Yp (2 x+p)*. 
Entsteht dagegen das Paraboloid durch Drehung um eine auf der Hauptaxe senk 
rechte Linie, welche durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht, so ist die 
Gleichung zu nehmen : 
2pQ = x' 1 . 
Es ist also: 
X 2 Y p 2J tx' i 
2p" 1 
Nach 1128) der Integraltafeln folgt hieraus, wenn man mit .r=0 beginnt: 
Als letztes Beispiel betrachten wir die ringförmige Oberfläche, welche ent 
steht, wenn ein Kreis um eine grade Linie rotirt, die nicht mit seinem Durch-