Quadratur krummer Oberflächen. 390 Quadratur krummer Oberflächen, 
messer zusammenfällt. Die Gestalt der 
entstehenden Oberfläche wird wesentlich 
verschieden sein, je nachdem diese Li 
nien ausserhalb oder innerhalb des Krei 
ses liegt. In jedem Falle aber gehören entspricht: 
hier zu jedem x 2 Werthe vonp, und 
kommt es darauf an, einen Theil der 
Ei ngoh er fläche zu finden, der vom gan 
zen Kreis gebildet wird, so sind die bei 
den p entsprechenden Stücke ihrem ab 
soluten Werthe nach zu addiren. 
In jedem Falle kann man die Axen 
so legen, dass die senkrechte Linie vom 
Mittelpunkt A (Fig. 55) des Erzeugungs- 
Q a =e—У(г а — я 2 ). 
Dem Werthe: 
£>i = b = e 
: + r. 
Man erhält: 
i 
dx — V (r 
1+ 
do j 2 
dx 2 
2 —X 2 )' 
re 
]/r 2 —X 1 
Fig. 55. 
kreises auf die Axe der x durch den 
Anfangspunkt 0 geht. Sei 
AO=ze nnd r der Eadius des Kreises’ 
so wird jede Linie HGF, welche senk 
recht auf der Axe OX steht, den Kreis 
zweimal oder gar nicht schneiden, 
mit Ausnahme der beiden Tangenten 
BD und EC. Wir setzen den grossem 
der beiden Werthe von p gleich p 1? den 
kleinern gleich p 2 , so dass : 
hf= Qi , gf=p 2 
ist. Die Tangenten 
BD=CE = e 
gehen die Punkte an, wo: 
Qi—Qi 
ist, und diese Werthe e bezeichnen also 
das Minimum von p t und das Maximum 
von p a . 
Die Gleichung der Eotationsfläche ist; 
a,2_ b(? — e ) i —t' 2 ) 
also: 
(p—e)=y(r a — x 2 ). 
Hieraus folgt: 
i»i=e+y(r»—x a ), 
bl/1 
d Qr 
dx 1 
^r 2 — x 2 ’ 
F = ( *'-’)/!(ı-b 
also wenn man mit x—0 beginnt; 
V — (fr'—fr) (er are sin + xr), 
Das von 2 einander entsprechenden 
Werthen von p gebildete Eingstück er 
hält man, wenn man beide Werthe von 
V addirt: 
V— 2 (fr'— fr) er are sin . 
Setzt man ж = г, so hat man das dem 
Halbkreise LHCM entsprechende Stück: 
Vz= n (fr'— fr) e r, 
und das vom ganzen Kreise gebildete 
Stück: 
F=2n(fr'- fr) er. 
Soll der ganze King gefunden werden, 
so ist fr'=2n, fr=0 zu nehmen, also: 
F=4u 2 er. 
„Der Eing ist gleich einem Eechteck, 
das zu einer Seite die Peripherie des ge 
gebenen Kreises, zur andevn die desjeni 
gen Kreises hat, der während der Eo 
lation vom Mittelpunkte A beschrieben 
wird.“ 
Der letztere Eadius ist nämlich offen 
bar gleich e. 
4) Quadratur von Oberflächen, 
die nicht durch Eotation ent 
standen sin d. 
Wir bemerken hierbei zunächst, dass 
man sehr oft aus der Entstehungsweise 
der in Eede stehenden Oberfläche für 
den Zweck der Quadratur bequemere 
Formeln ahleiten wird, als sich unmittel 
bar aus den oben gegebenen bilden 
lassen. 
Wir nehmen z, B. an, dass die Ober 
und: