Quadratur krummer Oberflächen. 393 Quadratur krummer Oberflächen. 
r m' £ = ¡1 = 0, 
F~r I du y2l ! h cos n 1 — g- =#2.4- 
wird : 
Eine weitere Redaction gelingt jedoch 
nicht. Das Integral ist ein elliptisches /* s /r————-—■——r 
zweiter Gattung (siehe den Artikel: ellip- ^J \ l ds — (xdx+ydy) . 
tische Transcendenten). 
Für den allgemeinen Kegel ist zu j gt ¿j e ;g as i s e i n Kreis, also gelten die 
setzen: oben beim Cylinder gegebenen Relatio- 
y, £ gleich Constanten, nen zwischen x und s, y und s wieder, 
da ein Punkt die zweite Curve vertritt. 80 hat man: 
Setzt man unmittelbar in die Formel -. g 
xdx— [A-fr sin—J cos — ds, 
£ j* Zsinß 
ds 
ydy — [B-\-r cos —J sin - <fs, 
ein, indem man der Einfachheit wegen 
die Projection der Spitze des Kegels auf 
die Ebene der xy als Anfangspunkt der x dx+ydy = (Acos--Bsin-) ds, 
Coordmaten nimmt, wo dann: J r rj 
i J na; 2 +« J + i 2 =A. ;i 4-J? :! +2/’Asin—+2rß cos — + r 2 , 
J r r 
s r - : 
F~ir r (/sI/a* sin— + ZDcos — +2 AB sin - cos — + 2cAsin — + 
J . [ r r r r r 
+2r Reos -+r a + £% 
oder: 
j' ds |/r 2 + £ J 4- (A sin-+ B cos — ^ + 2r(Asin- + B cos 
Setzt man hierin noch: 
A sin — -\-B cos — -U, 
r r 
so ist auch: 
A cos B sin — = r 
dU 
ds’ 
und indem man beide Gleichungen qua" 
drirt und addirt erhält man: 
A* + B 2 — U 2 + r' 
dU ; 
~ds*' 
woraus sich ergibt: 
ds — 
rdU 
y(A 3 + ß ! —/7 2 )’ 
und macht dieselbe Winkel mit den 
Axen, deren Cosinus a, b, c sind, so 
ist, wenn wir unter A, B, C, die Coordina- 
ten desjenigen Punktes dieser Graden 
verstehen, von welchem aus die Längen 
s gezählt werden: 
x—A = sa, y—B—sb, z — C—sc, 
a 2 -\-b 2 + c' l = 1, 
cos « = | + * {y—>f) + ^(s —£)> 
d. h. wegen der Werthe von x, y, «: 
s+« (A —1) + ¿ (B—ij)+c(C—£) 
cos ß: 
l 
Diese Werthe in den von F einsetzend, Nehmen wir dagegen an, die Erzeu- 
erhält man: gungslinie bleibe stets einer gegebenen 
,u' dUy{r 2 + C 2 + IT 1 +2rU) Ebene parallel, so kann man diese als 
F= 
\f\ 
Ebene der xy betrachten. Es wird dann 
der Winkel der Erzeugungslinie mit der 
2J u y(A 2 + ß a — i/ 2 ) 
offenbar wieder ein elliptisches In- ^ er * stet8 e * n rechter, und sein 
te g ra j " Cosinus sein, woraus sich 
Ist die Fläche eine windschiefe, d. h. 
z=C, dz — dX 
ist eine der Leitlinien eine grade Linie, ergibt. Es ist dann: