Quadratur krummer Oberflächen. 394 Quadratur krummer Oberflächen.
f
coc <** *-$ ■ d v y-n
ds l + ds l ’
dS x—'S drj V — ri
Ist die zweite Leitlinie auch grade, so
entsteht eine windschiefe Ebene. Es ist
dann, wenn c t die Cosinus der
Winkel sind, welche diese zweite Leit
linie mit den Axen macht:
Vereinigen wir beide Bedingungen, dass £—^,=(73,, r t —B l = ab l , £— C^zruc,.
also die Leitlinie eine grade, und die . u n • a t n .
t, ... . ö v1,,d,, C. sind die Coordmaten desiem-
Erzeugungslime einer Ebene parallel ist, 1 ,->* ,* , .. ,,
so hat man also- gCn 1 unktes ’ von dem dle gezählt
werden. Man kanu aber die Grade,
— —( _ '1 welche diesen Punkt mit dem Anfangs-
cos n — ^ [x JtjU/ V punkt der Coordinaten verbindet, als
aA+hB+s(a'+b')-at-b n Axe x nehme “, denn d j es f Grade
~ ‘ L—i - ist onenbar eine Erzeugungslinie, und
^ also der Ebene xy parallel. In diesem
d'ß A+sa — !; drj B+sb — t] Falle ist
C0Sß ~d^‘~~l + d^^ l B l= 0, C 1 = 0,
i 2 =: (A-)-s a— £) 2 ß-{B ■+■ s b — rj) 2 . und da man
Wir können aber auch annehmen, dass <?£ dt]
sich der Anfangspunkt der Coordinaten ^ ö i’ ^
in der Graden s befindet, wo dann , , , ,
A = B=C = 0 zu setzen ist. Unsere hat > Werdern aber:
Gleichungen werden dann ; 2 = C,
s(a’+6 s ) — —¡¿7 also mit Berücksichtigung der Werthe
C0Sft= T— ’ c=c 1= o,
dlj s a — | , di sb—rj sc — ac v
da l da l ’ ist, so werden unsere 3 G|eichungen:
s (a 2 +b 2 ) — aA v — — (a -}- bb t )
cos u~ £i ’
l
c0Z ß- a ' s ( ac '-~ a ' c '> + b i s ( bc i~ b i c ')~ a i A i c »
c t 2 l 2 = [s(ac j—a t c) — A 1 c 1 ]*-f s 2 (bc l —b l c) t ,
da _ c
ds c t "
Das Einsetzen dieser Werthe in die Formel:
cos ß:
F= 4- J* l (sin « sin ß ds
gibt indess wieder ein elliptisches Integral.
Nehmen wir nun an, die Leitlinie s stände auf der Richtungsebene senkrecht,
so wird:
:b — 0, c—1, « =
2’
cosß
_c l a l A l + s (rt t * + *!*)
~ cj
c t 2 l 2 = (A i c l -\-a l s) i -\-s 2 b^,
da 1
ds c, ’
sin ß —
^c^l 2 — [a t c l A l +«(a l 2 + Ä l 3 )]*
- }
Hieraus ergibt sich:
