Quadraturen — Zurückf. auf. 400 Quadraturen — Zurückf. auf. 
«te <b« ““ 
dx n 
Es verwandelt sich dann die Gleichung: 
7 ( x ) y 11 y-1 • 
• . y , d j± . 
... 
d y a . 
. ^^2 
. /n 
d ' d n... d y«\ = 0 . 
n dx 
dx^ 1 
dx 
dx 
dx p J 
dx n 
in: 
7 0> yi, y2 • 
••*«’ 2 ‘' 
- (-’) ... 
’ * 1 
2 00 
1 7 
2 (Ö ... 
*2 
0 
... ,00 
Pfl- 
dz 
7 
■ ! 
Pt dz [^ 
~7 H 
ax — t — 
dx 
1 ... f„-'\ =0. 
dx 
Die Anzahl der oben gebildeten Hülfsgleichungen ist: 
Pt + Pa+ ••• +P n ~n- 
Sei s die Anzahl der gegebenen Gleichungen von der Form 7=0, 
also: 
so hat man 
S +Pi+F a + ••• +P n ~ n 
Gleichungen; die Anzahl der Variablen in denselben: 
Vi* V* * * * y n , 2/, 2,/ • • 
ist: 
P1+P2 + ' ’ * +p n + l, 
während hei den ursprünglichen Glei 
chungen dieselbe n +1 war. Der haupt 
sächlichste Fall, welcher hier in Betracht 
kommt, ist, wie wir bald sehen werden, 
der, wo s = n, also die Anzahl der 
Gleichungen gleich der der abhängigen 
Variablen ist. In diesem Falle ist die 
Anzahl der neuen Gleichungen: 
P1+P2+ • • • +P n , 
also um eins kleiner als die der Varia 
blen , oder ebenfalls gleich der Anzahl 
der abhängigen Variablen. Hieraus folgt 
der wichtige Satz: 
D) „Jedes System von totalen Diffe 
rentialgleichungen von beliebigen Ord 
nungen , wo die Anzahl der abhängigen 
Variablen gleich dem der Gleichungen 
ist, kann verwandelt werden in ein an 
deres ähnliches System, worin alle Glei 
chungen von der ersten Ordnung sind, 
jedoch die Anzahl der Gleichungen und 
Variablen sich entsprechend vermehrt.“ 
Nach dem Satze C) übrigens ist das 
letztere System gleichbedeutend mit einer 
Gleichung, die eine abhängige Variable 
enthält und von der Ordnung Pi+p 2 
+ ... +p n ist. 
,(«) 
E) „Im Allgemeinen kann nach dem 
Obigen jedes System von totalen Diffe 
renzialgleichungen auf ein anderes erster 
Ordnung reducirt werden.“ 
Aus diesem Satze ergibt sich auch 
leicht die Art und Weise, wie sich jedes 
System von totalen Differenzialgleichun 
gen auf eine Form bringen lässt, welche 
statt der Differenzialquotienten die Diffe 
renziale selbst enthält. Es ist diese 
Form so wichtig, dass wir bei derselben 
noch einen Augenblick verweilen. 
Ist zunächst die Anzahl n der abhän 
gigen Variablen gleich der der Gleichun 
gen, so hat man, wenn diese auf Glei 
chungen erster Ordnung reducirt sind, 
und man die n Differenzialquotienten aus 
ihnen ermittelt, folgende Ausdrücke: 
d _y A _ 
dx 
fi, 
dx U 
du 
n ' 
wo die Grossen /"Funktionen von x,y t , 
y 2 ••• y n sind. Also ergibt sich auch: 
dy i —fi dx, dy^—f 3 dx . • . dy n ~f n dx, 
und dies ist die verlangte Form, für die 
man auch schreiben kann; 
Xdx+l ,(/y, -M a dj/ a -f • * • +K n dy n = 0,