Quadraturen — Zurückf. auf. 404 Quadraturen —■ Zurückf. auf. 
(Vergleiche den Artikel; analytische Qua 
draturen, Abschnitt 56.) 
Nach Auffindung des Multiplicators 
wird also die Auflösung der Differen 
zialgleichung auf eine blosse Quadratur 
zurtickgeführt. 
„Ist umgekehrt das Integral der Glei 
chung 1) in irgend einer Form gegeben, 
so kann man sogleich den Multiplicator 
finden.“ 
Die Gleichung 5) folgt nämlich un 
mittelbar, wenn das Integral die Form 
f (x, y) — a hat: 
7) 
~~Pdx~ (%‘ 
Ist 
f(x, y) = n 
ein Integral, so ist auch 
7 I/O, y)]=ß 
ein solches, denn es ist dann ß = y («), 
also gleich einer Constanten, die ganz 
willkürlich ist, wenn dies bei « statt 
findet. Setzt man y (f) statt f aber in 
die Gleichung 7), so erhält man einen 
andern Multiplicator: 
M'=-LSD. - d 'f (0 
Pdx elf 
1L = d jSD 
Fox elf 
M. 
„Es gibt also, da y eine willkürliche 
Function ist, unendlich viel Multiplica- 
toren.“ 
Setzen wir noch 
d 7 (D 
elf 
= )//(/’), so ist: 
8) 
an 
Ii 
=v(f), 
7 (f) — H> («) ist aber einer Constanten 
gleich und mithin ein Integral. 
_ „Alle Integrale lassen sich nun auf 
die Form \p{f) — y bringen, wo y eine 
Constante ist, und f~ ec irgend ein In 
tegral.“ 
Denn sei 
X Ob y) == cf 
ein anderes Integral, von dem wir an 
nehmen, es habe diese Form nicht, so 
Hesse sich mittels dieser Gleichung und 
f 0» y) — a etwa y eliminiren, und man 
erhielte 
) — xp{ee, d), 
also gleich einer Constanten; es müsste 
also auch x constant sein, eine Bedin- 
gung, welche der Differenzialgleichung 
1) widersprich* 
Aus diesem Satze und der Gleichung 
8) folgt nun: 
„Jedes Integral ist gleich dem Ver- 
hältniss zweier Multiplicatoren.“ 
Dieser Satz lässt sich auch umkehren, 
d. h, „Das Yerhältniss jeder beliebigen 
zwei Multiplicatoren ist immer ein In 
tegral.“ 
Denn sind M und 31' Multiplicatoren, 
so ist nach Gleichung 5): 
MPJx+MQöy-öf, 
M'Pdx+M'PJy — öf, 
wo f und f' der Definition zufolge In 
tegrale sind. Man hat aber nach dem 
Obigen: 
also, wenn man die zweite Gleichung 
durch die erste dividirte 
3P_dy{f) 
M ~ df 
= 7 00, 
also ist dieser Quotient in der That ein 
Integral. Also; 
„Sind 2 Multiplicatoren bekannt, so 
führt einfache Division statt der Qua 
dratur zur Bestimmung des Integrals.“ 
Im Allgemeinen hat man jedoch kein 
Mittel, auch nur einen Multiplicator einer 
gegebenen Differenzialgleichung von vorn 
herein aufzufinden, und ist es daher un 
möglich, dieselben immer auf Quadra 
turen zurückzuführen. Nur in einem 
allgemeineren Falle gelingt die Auffin 
dung des Multiplicators. Um diesen Fall 
zu ermitteln, setzen wir wieder: 
MPJx + MQdy=e)f 
Pdx + Qdy — 0. 
Aus der ersten Gleichung ergibt sich: 
~ = MP, = MQ, 
ox dy 
und wenn man die erste von diesen 
Gleichungen nach y, die zweite aber nach 
x differenziirt: 
d*f dP JM dQ JM 
s s — J/ä—h P-z — 31-—, 
oxoy oy dy ox dx 
d. h. wenn man beide Seiten mit 
multipli cirt: 
dP , JM , dQ J3I , 
31-— dx— Q-— dy — 3I-T— dx -|- Qr— dx, 
n„ er ,7 
oy 
oder: 
°y 
’ dx 
l_/dp dQ\ 1 
Q dx) X M 
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