Quadraturen — Zurückf. auf. 408 Quadraturen — Zurückf. auf. 
geben, wo u und v Functionen von x 
und y sind, jedes Glied aber nur eine 
Variable enthält, so ist offenbar das In 
tegral : 
f ff (u) du-\-f xp (v) dv — a 
auf Quadraturen zurückgeführt. 
Ein Beispiel dieser Methode war be 
reits die zweite Art, welche wir Ab 
schnitt 4) anwandten, um diejenige Glei 
chung zu integriren, welche eine der 
Variablen y nur in der ersten Potenz 
enthielt. 
Ein anderes allgemeineres Beispiel ge 
hen die sogenannten homogenen Glei 
chungen. 
Man nennt eine ganze Function P 
bekanntlich eine homogene Function 
rnter Ordnung von x und y, wenn in 
jedem Gliede die Exponenten von x und 
y zusammen m betragen, also P die 
Form hat: 
P=Ax m + Bx m ~ V + Cx m ~ 'V + • • • 
Aus diesen beiden Gleichungen in Ver 
bindung mit P lassen sich die Aus 
drücke ff und ff' eliminiren. Es ergibt 
sich: 
P ()P -U 
7)1 r = X -r—i-y 
n rv* ** 
<XP 
dy' 
Dies ist die in Rede stehende Differen 
zialgleichung. 
Seien jetzt P und Q beliebige homo 
gene Functionen von gleicher Ordnung 
»i, und die Gleichung 
1) Pdx+Qdy = 0 
zu integriren. Es ist dann: 
also: 
Aus dieser Gleichung ergibt sich leicht: 
y\cc 
y\ß 
P = x"\Ä+B\z +C\- +..•) 
2) ff^-)dx+xp(y-)dy = 0. 
Wir setzen 
■&~ ß 
+ c I 
+ ...) 
Die homogene Function mter Ordnung 
hat also die Eigenschaft: dass sie gleich 
der witen Potenz einer Variablen, mul- 
tiplicirt mit einer Function von — oder, 
y 
was dasselbe ist, von betrachtet wer 
den kann. Dieselbe Eigenschaft haben 
offenbar gebrochene Functionen, deren 
Zähler und Nenner homogen, und wo 
die Ordnung des Zählers um m die des 
Nenners übertrifft. Wir nehmen diese 
Eigenschaft als Definition der homoge 
nen Function, und nennen also P eine 
solche von der Miten Ordnung, wenn es 
die Form hat: 
-a(I> 
welche Function (ob algebraisch oder 
transcendent) auch ff sein möge und wo m 
selbst keine ganze Zahl zu sein braucht. 
Man kann die Grundeigenschaft der 
homogenen Functionen auch, beiläufig 
bemerkt, durch eine Differenzialgleichung 
angeben, die jedoch partiell ist, Diffe- 
renziirt man nämlich P nach x und y, 
so ergibt sich: 
x 
wo also u eine neue Variable ist, also: 
dy~udx-\-xdu, 
und erhalten: 
ff (m) dx + xp (u) (udx-\- xdu) = 0. 
In dieser Gleichung aber lassen sich die 
Variablen trennen. Denn man hat: 
['/ (u) + uxp (m)] dx + xxp (u) du = 0, 
oder: 
xp (u) d u dx 
1 = 0 
ff (M) + UXp (U) X ’ 
, /' xp (m) du 
log«+ /—r——- - Ct. 
J ff (m) UXp (m) 
a _ r *p(u)du 
,1 ff (v) + UXp (u) 
x~e , 
wo für m wieder — gesetzt werden kann. 
x 
Die Gleichung 2) wurde auf die Form 
eines vollständigen Integrals gebracht, 
indem man mit , ■ —- multi- 
x L7 («) + uxp{u)] 
plicirte. Dieser Ausdruck ist also ein 
Multiplicator der Gleichung 2). Es ist 
aber : 
P Q 
7'( M ) = ~> xp{u) = ' 
x x' 
y