Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 409 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Gleichungen in Ver- 
assen sich die Aus- 
liniren. Es ergibt 
stehende Differen- 
Q beliebige homo 
gleicher Ordnung 
ly = 0 
dann: 
Variable ist, also: 
+xdu, 
(udx-\-xdu)=0. 
aber lassen sich die 
Denn man hat: 
-\-xip (m) du — 0, 
dx 
+ —= 0, 
) x 
u) du 
-)- Ulfj (m) 
jj (u) du 
) + u\jj (m) 
gesetzt werden kann. 
wurde auf die Form 
Integrals gebracht, 
— y-r-^ multi- 
(«) + u\p (m)] 
usdruck ist also ein 
leichung 2). Es ist 
0 
y 
also der Multiplicator von der Form: Px-\-Qy — 0 
m eine singuläre Auflösung derselben. 
jif x Die eben gegebene Methode der In- 
Px+Qy' tegration ist noch anwendbar bei folgen 
der Gleichung : 
Die Gleichung 2) aber entstand aus 1) „, ^ , „ . , , . . 
b ' 2 Pdx+Qdy+R{ydx-xdy) = 0, 
durch Multiplication mit “; es ist AV0 p un( j q homogene Functionen 
x mter Ordnung, R aber eine solche pter 
Ordnung ist. Wir setzen dann wieder. 
V t> hi , . 
y- = u, P-x (f (u), 
also: 
Px-\- Qy 
ein Multiplicator der vorgelegten Glei 
chung: 
Pdx+ Qdy = 0, 
und 
also: 
Q = x m ip(u), R = xPf(u), 
und erhalten, wenn 
p — in + s 
gesetzt wird: 
s + -i 
Ist nun noch: 
so kommt: 
<f (u) dx-f \jj (m) (udx+xdu) + x ~f[u) du-0, 
dx (u) du 
['/' («)+ W P ( M )] “7^7 + ~ s +r + f ( M ) du = °- 
z = x ( s 1 also d&= — (s-f 1) s ^_.;, 
~[f(n) + uip{u)] 
Diese Gleichung ist aber offenbar eine 
lineare, d. h. sie enthält z nur in der 
ersten Potenz, ist also nach dem in 4) ge 
gebenen Verfahren zu integriren. 
Beispiele. Sei die Gleichung: 
(ax -|- hij) dx -)- (hx -f- ßy) dy = 0 
gegeben, wo a, b, a, ß Constanten sind, 
so hat man: 
m = 1, </ (w) — a-f-hu, \jj(ti) — a-\-ßu 
, . C « -f- ß u du 
gx + J a + (A+«) u + ßu 2 ~ "• 
Das Integral ist bekanntlich leicht zu 
berechnen. 
Sei ferner gegeben: 
xdy—ydx—dx\(x 2 -\- y l ) — 0, 
so hat man: 
«i = l, ff («)= — m—V(1 + m 2 ), i//(m) = 1, 
also: 
/ ’ du 
d. h. 
lg x = lg (m -f-+ «0+lg®. 
wenn man « = lg c setzt, also: 
-f- zxf) Qu) du -f- f[ u) du = 0. 
» = c(« + l/l+«0 = c (1+^14^*). 
woraus sich ergibt: 
x 2 —2 yc—c 2 =0. 
Differenziirt man den Ausdruck links 
nach c, so kommt: 
y=~c, 
und hieraus und aus der Gleichung 
x-—2cy—c 2 = 0 die Grösse c eliminirend, 
erhält man: 
x 2 +y 2 =0; 
es ist dies ein singuläres Integral, da es 
im allgemeinen Integrale nicht enthal 
ten ist. 
Die Gleichung Px-\-Qy = 0, welche wir 
oben , als die singuläre Auflösung ent 
haltend, hinstellten, gibt dasselbe Re 
sultat. 
7) Transformation der Varia- 
bl e n. 
In den Abschnitten 4 und 6 sind die 
beiden Hauptfälle enthalten, in denen 
es gelingt, eine Gleichung von der Form 
Pdx und Qdy zu integriren. Es kann 
aber oft eine andere gegebene Gleichung