Quadraturen — Zurückf. auf. 412 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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woraus sich dann ergibt: 
dy fJ t-by' 2 x m dx = adx, 
oder wenn man 
m+1_ , 
’ m-f-1 
«i-f-1 
= 6', — 
1 
setzt; 
5) dy' + a'y f2 dx = b'x fVl dx'. 
Dies ist wieder die ursprüngliche Form. 
Die Integration gelingt also, wenn: 
, m 4r 
m+1 
2/—1 
ist, d. h. wenn 
—4r _ -4»(—r) 
2r+l 2* (—r)—1 
ist. 
Es kann also immer die Integration 
ausgeführt werden, wenn m = — 
Ar—1 
und r eine ganze positive oder negative 
Zahl, auch gleich Null ist, ausserdem 
wenn m= —2 ist. 
Die Riccatische Gleichung lässt sich 
noch unter eine andere Form bringen, 
in welcher ihre Behandlung einfacher 
wird. Wir kommen nachher auf dieselbe 
zurück. 
9) Differenzialgleichungen 
von höheren Graden. 
Ist die Gleichung in Bezug auf den 
Differenzialquotienten von höheren als 
vom ersten Grade, also von der Form; 
Namentlich sind hier folgende Fälle 
bemerkenswert!!. 
I) Sind in der Gleichung 1) a, ß • • • ,9-, 77 
sämmtlich Constanten, so ist offenbar 
dy 
auch —- eine solche: man setzt also: 
dx 
woraus sich ergibt: 
y = cx + e-, 
e ist eine willkürliche Constante. Um 
c zu eliminiren, setzt man den Aus 
druck : 
c= y~ e = % 
x dx 
in Gleichung 1) ein, und erhält: 
Dies ist also die Integralgleichung, e 
ihre willkürliche Constante. 
Beispiel. 
sei die Differenzialgleichung. Das In 
tegral also: 
(!?)■=••■ 
oder: 
(y—e) i — a i x i —0. 
II) Es ist oft gerathen, die Gleichung 
nicht nach ~ , sondern nach y oder x 
dx 
aufzulösen. Man hat dann die Glei 
chung 
y = F(x, p), 
oder bezüglich 
x = F{y, p), 
wo a, ß •••!>, y im Allgemeinen Functio 
nen von x und y sind, so ist es nicht 
immer angemessen, die Gleichung vor der 
Integration auf die Form 
zu bringen, also die algebraische Glei 
chung in Bezug auf -- aufzulösen, Oft 
dx 
ist es besser, eine Beziehung zwischen 
x und y und einer Constante auf di- 
rectem Wege aus der gegebenen Glei 
chung abzuleiten. 
wo 
ist, zu behandeln. Man differenziirt 
dann die erste Gleichung nochmals, und 
hat nun, wenn man von y — F{x, ji) 
ausgeht: 
oF(x, p) . o F (x, p) , 
vdx-—dx H dp, 
' dx op 
also eine Differenzialgleichung zwischen 
x und p. Gelingt deren Integration, so 
kann man p aus dem erhaltenen Inte-