idratische Factoren. 
Quadratische Factoren. 
35 
Quadratische Factoren. 
bekannten Werke Cauchy’s, 
tnalyse algébrique mitge- 
lässt sich zeigen, dass jede 
on der Gestalt 
An—i x—An — 0 
msitivcn Werth von x, der 
all sein kann, durch Null ge- 
i; ist also « dieser Werth, 
= 0, was zu beweisen war. 
r nun von dem Werthe des 
des ab, 
Ausdruck 
n—1 n—2 , . 
x +A x + . • • +A 
1 2 »’ 
... A beliebig reelle oder 
n 
ablen sind, setzen wir 
V. x=.-e , ' i , a x )=ne li 
q , r, ß sind hier als positiv 
n. Man hat : 
-27-4-,“^+... +Q e “n\ 
-27)»+ . . . Q e iMn~ n 'l) 1 
rechts und iinks einzeln ver- 
'2g—((“» —2/) *+ 
, —Cu —nrj)i. 
+p n e K ‘ n 
so erhält man, wenn man 
. . . +o cos « ) 2 
n n 
. . . + p sin« ) a , 
n n 
3 Glied negativ ist, hat aber 
origen immer eine reelle po- 
d, und der Ausdruck links 
leichung wird für wachsen 
alle Grenzen hinaus zuneh- 
3sem Grunde muss auch ß 2 , 
s positiv und von r und p 
, über alle Grenzen mit zu- 
r wachsen, und kann auch 
Null sinken; es wird also 
n bestimmten Werth von r 
u kleinsten positiven Werth 
leinste Werth sei eben R, 
¡druck durch die Gleichung 
„ n n na i , i 
Rß -r ß > +/+r 
• • • 
Wir wollen nun r ändern, also für r wo die Ausdrücke a a . . , « com- 
r + u schreiben, wo dann II und k auch , ^ n ^ n 
andere Werthe die wir mit ß t , A t be- P. lexc Gl ~ s . md ’. von denen ¿ cdoch 
zeichnen, annehmen; wie leicht zu er- emzelne Nul1 sem konnen - ~ Sei « 
sehen ist, hat man dann: die erste der Grossen « 2 ..., die nicht 
„„Ai . 2 , , n Null ist, und setzen wir cc =Aß so 
Re 
■Re + 
R t e 
Ai 
R6^+ Aé H a P + a 
kommt : 
; P + 1 
P+l 
+ 
Es können nämlich nicht alle a Null werden, da ci ~ß 
n<n 
Das bis jetzt beliebige a bestimmen wir, in dem wir setzen: n 
4- « a 
n n 
ungleich Null ist. 
1 (A + Tl)i 
RVß V « 
s sei eine positive Zahl. Dann wird 
JÀ - n Ji 
A A 
A p ev 
... +ßn ,\ 
. . . ß wieder complexe, leicht zu bestimmende Zahlen sind oder 
rJK-W =R(1 _ t P +ß P+ 1 + . . . + /*«»). 
wo ß 
p + l, 
p+l 
Es ist nun klar, dass mit abnehmen 
den s der reelle Theil des Ausdruckes 
n 
ß L >ß 
v 
t -(-jS 
P+l 
Da aber R der kleinste Werth war, so 
c + . . . +/S s ist dies unmöglich, und es muss ß, d. h. der 
zuletzt das Zeichen seines ersten Gliedes, Modul Ausd ™ c kes f(x) gleich Null 
also das negative erhält, wodurch der Wer A nd , 01 ““ Werth von r 
reelle Theil des Ausdruckes in der Klam- , und f* fol S bch auch K*) selbst, was zu 
mer zuletzt kleiner als Eins, folglich ew eisen vai. 
ß t cos (A — A t )>ß 3) Wegen der Wichtigkeit dieses Satzes 
wird,wennnichtß = Oist,dennß 1 cos(A—A,) geben wir noch den letzten derjenigen 
ist der reelle Theil des Ausdruckes links, 3 Beweise, welche von Gauss herrühren, 
und da R l und ß positiv sind, um so mehr Es sei 
2 n p--n 
f{x) — A + Ax + A x + . . . -\-A x — 2 A v x , 
0 1 2 « 
wo die Grössen A reel seien, und setze man 
»=0 
so ist : 
wo r der Modul von x ist. 
Wir setzen nun noch: 
x— i+wi, 
p s , 
t=2A r cos p<f 
P 
p S s 
u = 2A r sinpy , 
p 
arclg— — s, V . 
Um v und w zu bestimmen, sei 
t^ = 2pÄ^r cos/)'/, 
p /-N 
— 2pA r sin p/f, 
ds 
dr 
fis 
fiv 
_ fiw 
fit- 
fit t t 
fir ~ r 
du 
fir r 
fit 
—M. 
so ist 
3*