Zurückf. auf. 
folgende Fälle 
ig 1) a, ß • • • F, 7) 
so ist offenbar 
tan setzt also: 
Constante. Um 
man den Aus- 
. (jy 
dx 
nd erhält: 
e^w — l 
" +5 ( ? 4r) = ' ? - 
Integralgleichung, e 
'°+ante. 
a 2 =0 
leichung. Das In- 
2 a: a = 0, 
then, die Gleichung 
irn nach y oder x 
dann die Glei- 
i P)i 
. P)i 
l 
x 
Man differenziirt 
hung nochmals, und 
von y-F(x, p) 
Igleichung zwischen 
leren Integration, so 
em erhaltenen Inte- 
Quadraturen — 
gral und der gegebenen Gleichung eli- 
miniren , so dass man das Integral der 
vorgelegten Gleichung erhält, d. h. eine 
solche, die nur x, y und eine willkür 
liche Constante einschliesst. 
Beispiel. Sei gegeben: 
(y—px) 2 — c 2 p 2 _ l , y dy 
1+ p 2 ~ ’ P ~ dx ’ 
durch Auflösen nach y erhält man: 
y =px+Y(c 2 + b 2 ) p 2 + b 2 . 
Differenziirt man, so ergibt sich: 
dp • p (c 2 -f-f» 2 ) 
dy—pdx-\-xdp-\- 
oder, da 
1/(c 2 + 6 2 )(p 2 -H 2 ) 
dy — pdx 
p(c 2 + b 2 ) 
Y(c 2 -{-b 2 ) (p 2 + b 2 ) 
Diese Gleichung hat 2 Auflösungen: 
ist: 
dp 
und 
x +: 
p (c 2 +h 2 ) 
V{c 2 +b 2 ) (p* + b 2 ) 
Eliminirt man aber aus der letzteren 
und der gegebenen Gleichung p, so hat 
man keine willkürliche Constante, man 
wird also auf diese Weise im Allge 
meinen ein singuläres Integral bekom 
men, wenn es nicht in bestimmten Fäl 
len ein particuläres ist. 
Der Werth p~e, in die gegebene 
Gleichung eingesetzt, gibt dagegen: 
{y—ex) 2 — c 2 e a r~b 2 (1 + e 2 ), 
und dies ist das allgemeine Integral, 
dessen willkürliche Constante e ist. 
Differenziiren wir, um das singuläre 
Integral zu ermitteln, nach e, so kommt: 
x(y—ex)-\-c 2 e-\-b 2 e~0, 
d. h. wenn man e aus dieser Gleichung 
und dem allgemeinen Integral eliminirt: 
(b 2 +c 2 )y 2 -\-b 2 x 2 = (c 2 + 6 2 ) b 2 . 
Diese Gleichung, als die einer Curve 
betrachtet, stellt offenbar eine Ellipse 
vor. 
Denselben Ausdruck hätte man erhal 
ten, wenn man p aus der Gleichung: 
. p(c 2 +b i ) 
Y(c 2 +b 2 ) (p 2 +6 v ) 
und der gegebenen eliminirt hätte, 
stellt in der That ein singuläres Inte 
gral vor, da sie in dem allgemeinen 
nicht enthalten ist. 
yzzex+f(c). 
Differenziirt man nach e, so kommt: 
*+r( e )=o. 
Es ist aber ganz dasselbe, 
aus der Gleichung: 
y = ex+f(e), 
x+f'{e) = 0, 
oder p aus den Gleichungen: 
y=px+f(p), 
x +f'(p)=0 
eliminirt, woraus sich ergibt, dass beide 
Methoden zu demselben singulären Inte 
gral führen müssen. 
IV) Die eben gefundene Integrations 
methode ist auch auf den allgemeineren 
Fall anwendbar, wo die Gleichung in 
Bezug auf x und y linear ist, dieselbe 
also die Gestalt hat: 
y — x f{p)+F(p), 
wo f und F ganz beliebige Funktionen 
sind. Man erhält nämlich durch Diffe 
renziiren : 
dy — xf (jfi) dp +f(p) dx+F(p)dp, 
oder wegen 
dy — pdx 
[p—f(p)] dx = X V (p) d V+ F ' (/') d P> 
eine Gleichung, die offenbar in Bezug 
auf x linear ist, also immer auf Qua 
draturen zurückgeführt werden kann. 
Aus dem Integral und der gegebenen 
Gleichung ist dann p zu eliminiren. 
Beispiel. 
jf = »(l + p*). 
Durch Differenziiren erhält man: 
(p — l — p 2 ) dx ~ 2p x dp. 
Das Integral ist: 
dx C 2p dx