Quadraturen — Zurückf. auf. 416 Quadraturen — Zurückf. auf. 
„Integral des Systems 8) heisst jede 
Function von x, x t ... x , welche gleich 
einer Constante gesetzt die Gleichungen 
3) erfüllt.“ — Sei also f(x, x v , x 2 .,,x ^ 
ein solches Integral, so muss die Glei 
chung : 
4) f(x, x t ... x n ) — a 
durch die Gleichungen 8) identisch wer 
den. Diese letzte Gleichung nennen wir 
Integralgleichung, und können dieselbe 
auch auf die Form bringen: 
so könnte man aus denselben die Grössen 
x, x,, x, ... x berechnen, und die- 
selben wären sämratlich Constanten 
gleich, also: 
dx dx l 
du du ' du ’ 
was den Gleichungen 3) widerspricht. 
„Sind also n von einander unabhän 
gige Integrale gegeben, f f t ... f n _ t , 
so kann jedes andere f nur die Form 
(f («, x t , x 2 . . . x n , «)= 0; 
den Ausdruck Integral aber wollen wir 
stets nur für das erste Glied einer in 
der Form 4) geschriebenen Integralglei 
chung gebrauchen, 
Differenziirt man nun die Gleichung 
4) nach u, so erhält man, wenn x, x v , 
x 2 ... x als Functionen von u be 
trachtet werden: 
df dx l df dx . 
dx du dx, du dx, du~^~ 
df dx 
J.-2L n -o 
oder da diese Gleichung durch die Glei 
chungen 3) verificirt werden soll, mit 
Benutzung der letztem: 
df df df 
+i^X =0. 
dx n 
n 
Diese Gleichung definirt das Integral 
völlig, d. h. jede Function, welche sie 
erfüllt, ist ein Integral. Setzt man näm-- 
lieh für X, X,, X~ . .. X wieder die 
1 1 n 
Werthe —, . ... so erhält man: 
du du 
haben: 
„Umgekehrt ist jeder Ausdruck von 
dieser Form ein Integral.“ Es ist näm 
lich vermöge der entsprechenden Inte 
gralgleichungen : 
f n -'l («> «i • • • « n )=& 
wo also ß eine Constante ist. 
Satz B. „Das SystemS) hat immer 
n von einander unabhängige Integrale.“ 
Um dies nachzuweisen, gehen wir von 
der Form 2) aus, und bedienen uns des 
schon bei den Gleichungen mit 2 Varia 
blen angewandten Verfahrens. 
Zunächst schreiben wir diese Glei 
chungen in folgender Weise: 
dx^riff ^x, x v . 
. . x ) dx, 
n ’ 
dx 2 — y 2 (x, x t , 
. . x ) dx. 
dx s = y s (a:, «i • 
, . x ) dx, 
dx —(j (x, x, . 
n 1 ’ 1 
.. x ) dx, 
w 
= 0, also f~a. 
Satz A. „Hat man n Integrale des 
Systems derart, dass keins eine Funktion 
der übrigen, also alle n von einander 
unabhängig sind, so kann kein neues 
Integral gefunden werden, welches nicht 
eine Function derselben sei. Es hat 
also das System 3) nur n von einander 
unabhängige Integrale.“ 
Hätte man nämlich w+1 voneinander 
unabhängige Integralgleichungen: 
f-«> fv~ tt i» a • • • £. = «„» 
oder wenn wir einer jeden dieser Grössen 
x nach und nach die Werthe: 
$ 
X °, X . . . X ^ 
s ’ s s 
geben, welche continuirlich aus einander 
entstehen, immer unter der Voraussetzung, 
dass auch die Functionen y, y 2 . . . y^ 
continuirlich bleiben, mit Berücksichti 
gung, dass 
W-* ( r ~ l '>)=dx CO 
C / c 
lim (x 
' c 
ist: 
x s 1 = X s ° + '/' I C* 0 ’ * l 0 • • • X n°) —■ x °) 
Gieht man hierin dem Index s alle 
Werthe von 1 bis n, so hat man n Glei 
chungen, welchedie Grössen.r' l ,.r' 2 ,.. x r