Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf, auf. 417 Quadraturen — Zurückf, auf. 
selben die Grössen 
sehnen, und die- 
tlich Constanten 
dx 
= —=0, 
du 
3) widerspricht, 
einander unabhän- 
(,(>■■■ f H -1- 
f nur die Form 
VI. 
. . f ).“ 
• 'n— V 
er Ausdruck von 
ü.“ Es ist näm- 
entsprechenden Inte- 
. . a ) =/?, 
n’ r 
ante ist. 
rstem 3) hat immer 
hängige Integrale.“ 
sen, gehen wir von 
bedienen uns des 
ngen mit 2 Varia 
fahrens. 
wir diese Glei- 
Weise: 
... x ) dx, 
w ’ 
,.. x ) dx, 
w 
. . . x )dx, 
n' 
... x ) dx, 
w 
jeden dieser Grössen 
Werthe: 
) r « 
‘s 
nuirlich aus einander 
er der Voraussetzung, 
tionen ff, </ 2 ... (f n 
mit Berücksichti- 
-0 
) = dx, 
(r) 
o ... x °) (a/ 'i-z 0 ) 
dem Index s alle 
, so hat man n Glei- 
Grössen.r'ptfQ • ..»' M 
geben, wenn man die Anfangswerthe x°, x t ° 
hat. Es ist ferner; 
a? 0 und ausserdem x 
(0 
*s (2) =* s (l) + r / 1 • • • x n^) (x^—x^), 
n Gleichungen, welche die Werthe von x 
(*).* (-’) 
CO 
geben, wenn man 
.0) «(■) *(•) 
(0 
für ar ‘ 1 , X^' 1 , x^' J . .. % n y ' J , die aus den vorigen Gleichungen gefundenen 
Ausdrücke substituirt; fährt man so fort, bildet also die Gleichungen: 
x s^' > ~ x s^ ~' ) + 7i( a;(i ~ l) > ~’ l ' > ... 
Ein System von Gleichungen wie 6^ 
(l'j kann man auch als System von Integral- 
• x n > gleichungen betrachten. Sie unterschei- 
,. , „ den sich von der in 7) gegebenen Form 
selbst als Func- dadurch, dass jede Gleichung n Constan- 
x l ° ten aber ausser der unabhängigen Va- 
(/) riablen nur noch eine zweite Variable 
c ‘ enthält. 
Diese Formen aber haben wesentlich 
so findet man schliesslich 
* W x 
^ 1 > u 2 * * ’ 
oder x t , x, z ... 
tionen der Anfangswerthe x 
x °, und von a^ 1 ). 
.(■0 
Diese Grössen sind also Functionen von 
x, da sie sich mit der Zunahme von x andere Eigenschaften, als die bis jetzt 
continuirlich ändern, x kann also als betrachteten Integralgleichungen. Nach 
unabhängige Variable betrachtet werden. Analogie des im Abschnitt 3) Gesagten 
Der Anfangswerth von x, x° kann eine kann man diese Gleichungen 6) auch 
beliebige Zahl sein, etwa Null. Die ent- schreiben: 
sprechenden Anfangswerthe x,°, x z ° ... px 
x 0 sind dann durch unsere Gleichungen x^z=zx l °+ J (x, x v 
n »y x o 
nicht bestimmt, also willkürliche Con 
stanten. pX 
Man hat also n Gleichungen von der x a —x 2 ° + I (f 2 (. x i -*i 
Form: J 
6) X^ffXlXpi (X, x l °, x 2 ° , . . x n °) 
X 2 ~~^ßi^ X 1 X l °» X 2° • • . X fi°') 
) dx, 
H/ 7 
x ) dx 
Vif 
/ .X 
rO 
( fJ X ’ X l 
x ) dx, 
V)/ J 
-xpix, x^, x 2 ° 
X °). 
VI ' 
und aus dieser Form lassen sich in Be 
zug auf die Werthe der Variablen ganz 
Entwickelt man aus diesen Gleichun- ähnliche Schlüsse, wie am angeführten 
gen die Constanten, so erhält man Glei- Orte ziehen. Offenbar ist auch das hier 
chungen von der Form ; 
7) x L ° t (#, x 2 . • • x^), 
x 2 °=f 2 (x, x n x t . . . x ) 
X 0 = f (x, XXo ... X ), 
Vt 1 n h 5 J 7 1 V». n 
gegebene Verfahren eine Methode zur 
wirklichen annäherungsweisen Integration 
der gegebenen Gleichungen. 
Das System von Integralen, welches 
wir als Hauptintegrale bezeichnet haben, 
ist von grosser Wichtigkeit für verschie 
dene Fragen der Analysis. Dasselbe 
lässt sich, wie auch die Integrationsme 
thode sei. immer wieder finden, wenn 
man ii beliebige, von einander unabhän- 
und dies sind offenbar die Integrale un- gige Integrale hat. Sei nämlich: 
sers Systems. ( x x x \ 
Wir nennen diese n Integrale Haupt- ' 1 ’ 1 ' ’ 1 w'’ 
integrale zum Unterschiede von ande- u 2 — <f 2 {x, x v . . 
ren, wo die Constanten nicht die ihnen 
hier gegebene Bedeutung haben, die An 
fangswerthe der abhängigen Variablen ‘ <■„ ’ 
zu sein, n f n v 
27 
x ) 
w 
X ) 
«/