Quadraturen — Zurückf. auf. 418 Quadraturen — Zurückf. auf. 
ein solches System. Um aus demselben 
die Hauptintegrale zu ermitteln, geben 
wir x eine beliebige Zahl x°, etwa 0 als 
Anfangswerth, und mögen dieser die 
Wertbe x,°, x. 7 ° . . . x 0 für die an- 
dem Variablen entsprechen, so ist auch 
x i° • • • ®„ 0 )» 
«2 (® # , . . . X n °) 
n ' n' ’ 1 n ' 
Aus diesen Gleichungen kann man x t °, 
x. 2 ° ... x 0 entwickeln und erhält: 
X l 0 — V'l ( X ° 1 "p «2 • • • %), 
X i° =»/'2 («°> «P «2 • • • «j) 
«I» «2 • • • «)• 
Setzt man hierin für a,, a, . . . cc wie- 
1 1 n 
der die Wertbe aus 8) ein, so hat man 
ein System ganz von der Form 7); x° 
ist nämlich eine Zahl, von deren Aus 
wahl allein die Gestalt der Hauptinte 
grale noch abhängig ist. 
11) Theorie des Jakob i’s eben 
M ulti plicators. 
Es ist Jakobi gelungen, die Theorie 
des Multiplicators, welche Euler für eine 
Gleichung mit 2 Variablen angewandt 
hat, auf ein System wie das hier be 
trachtete, von n—1 Gleichungen mit n 
Variablen zu erweitern. 
Wir geben diese wichtige Theorie hier 
in aller Kürze. — Zu dem Ende sei: 
1) 
dx, 
du 
= 1. 
dx 2 
du 
=x. 
dx 
n 
du 
=x 
das gegebene System, wo wir x v , x 2 ... 
& n als Variable annehmen. Nehmen wir 
an, es sei 
fi X 11 X 2 • • • X 7t ) 
ein Integral, also: 
m d f d f d f 
2 > d\ X ‘ + öi X ’ + -+^ X n= (> 
12 n 
eine Gleichung, welche wir auch schrei 
ben können: 
p-n 
2 -s—X =0. 
, Ox p 
p — I p 1 
Es möge nun sein: 
f= 
W 
M’ 
wo also eine der Grössen M' und M 
vor der Hand noch ganz willkürlich ist. 
Man hat dann offenbar; 
P=n d(—] 
d. h.: 
=0, 
dx P 
P = 1 P 
p-n p-n dM 
2 M-—X = 2 iW'-r—X . 
ox p . dx p 
p — I P P — 1 P 1 
Offenbar aber ist: 
dM 
dx X p 
P 
d (M X ) MaX 
P 
Ox 
P 
also: 
p — n d (M'X ) p — n d X 
2 M— ? 2 MM' P = 
P= 1 dx p P= 1 ÖX p 
p-n d(MX ) p-n dX 
2 M' P _ 2 MM'—!, 
P= 1 
P 
P 
P 
d. h. 
p ~n d (M'X ) p = n d (M X ) 
M 2 t = M' 2 P 
dx 
dx 
P - 1 ' J p P — 1 p 
Die bisher willkürliche Grösse M be 
stimmen wir jetzt so, dass: 
p = nd(MX) 
2 -- P =0 
n — i dx 
p— i p 
ist, und jeder Ausdruck M, welcher diese 
Gleichung erfüllt, soll jetzt ein Multi 
plicator des Systems 1) genannt werden. 
Es ist offenbar also auch M' ein Mul 
tiplicator, da vermöge der letzten Glei 
chung auch; 
p — n dM'X 
2 P= 0 
p - 1 dx p 
jst, und wir haben den Satz: 
„ Jedes Integral ist der Quotient zweier 
Multiplicatorem“ 
Dieser Satz lässt sich auch umkehren: 
„Der Quotient jeder zwei Multiplica- 
toren ist ein Integral.“ 
Denn sind gegeben die Gleichungen: