— Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 419 Quadraturen — Zurückf, auf. 
Grossen M' und M 
ganz willkürlich ist. 
enbar: 
P- n dM 
s M ’nr x P - 
p — l p ‘ 
X ) MdX 
P J P 
dx 
n d X 
MM' I — 
i dx 
1 P 
) p = n d X 
X MM' P, 
'>x 
P 
p= l 
p = nd{Mx) 
M' X P-. 
n — i dx 
P— 1 p 
iche Grösse M be- 
dass: 
;ck M, welcher diese 
>11 jetzt ein Multi- 
1) genannt werden, 
auch M' ein Mul- 
r e der letzten Glei- 
-1=0 
P 
en Satz: 
der Quotient zweier 
ch auch umkehren: 
er zwei Multipli ca- 
i die Gleichungen: 
p — nd (M' X ) 
£1=0, 
p-nd (MX ) 
X —_£.=o, 
P - V dx 
welche die Multiplicatoren definiren, so hat man : 
d(MX) dx 
P' 
p 
„ dM 
— M—- + X s—, 
- M dx P ox p 
P 
also: 
dX 
P 
dx 
dM 
Z 3 : 
p dx 
0, 
oder wenn man mit M dividirt: 
3) 
p — n dX 
X P 
p — n 
P=i dx p P= i 
d lg M 
dx 
X =0, 
p 
Es ist leicht zu sehen, dass auch diese Gleichung den Multiplicator vollständig 
definirt. Wenn man von der dem andern Multiplicator entsprechenden Gleichung: 
p — n dX 
1 X -P 
p=i dx „ 
+ 2 
P- 1 
dig m' 
dx 
V 
P 
0 
die vorletzte abzieht, so ergibt sich : 
p = n ,, M' 
2' \ — o. 
dx P 
P= 1 P 
Diese Gleichung mit 2) verglichen, zeigt, 
M' 
ausserdem aber die Constante «. Eine 
der Gleichungen des Systems 1) wird 
dagegen eine identische Folge der übri 
gen, da man hat: 
+£i* n =0, 
i ^ 11 
dass —-Ä eine Integralgleichung, woraus berechnet werden kann. Man 
also auch hat also durch die Anwendung des In- 
ßjr , tegrals das System von n—1 Gleichun- 
~ = e A gen mit n Variablen (n — 1 Gleichungen 
11 sind es nämlich nach Elimination des 
, , , , , M' . , . willkürlich eingeführten du) auf n—2 
eine solche, folglich _ ein Integral ist. Gleichungen rait n _ ± Variablen redu- 
Hat man also zu einem System von cirt. Ein zweites Integral würde das 
n Gleichungen n-f-1 von einander unab- System auf (n 3) Gleichungen mit (m 2) 
hängige Multiplicatoren, so lässt sich Variablen reduciren und so fort, so dass 
durch Division von je zweien einSvstem jedes Integral eine wesentliche Verein- 
von n Integralen ermitteln, also die’' Glei- fachung der noch übrigen Aufgabe be- 
chungen vollständig integriren. dingt. 
„Ist von einem System aber ausser 
12) W echs elbezi ehung zwischen einem Integral auch ein Multiplicator 
Integralen und Multiplicatoren. bekannt, so kann man immer den Mul- 
Auf den folgenden Betrachtungen be- tiplicator desjenigen Systems ermitteln, 
ruht die eigentliche Anwendung der Mul- welches entsteht, wenn man durch Em- 
tiplicatorentheorie. setzen des Inte S rals da s gegebene re- 
t , , . ducirt.“ 
Ist wieder ein System von der Form Um (lieg zu zei sei f das Inte . 
1) des vorigen Abschnittes, und einein- ^ M der Multiplicator des gegebenen 
tegralgleichung; Systems, I, der gesuchte Multiplicator 
f = a des reducirten Systems. Wir nehmen an, 
gegeben, so hat man eine Gleichung, dass 3ei letzterem die Variable x^ weg- 
aus der eine der Variablen, z. B. x geschafft worden ist. Man hat nun: 
berechnet und in die Gleichungen 1) ein 
gesetzt werden kann. Dieselben ent 
halten dann nur noch n - 1 Variablen, 
P = n df 
X X v L =0, 
, p dx 
;i=l > p 
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