oder wenn man die erste Gleichung nach 
die zweite nach x differenziirt: 
_ 
d x. 
dx öx v 
dx 
d, h.: 
d{A¡) djAsj 
dx ' dx 2 ’ 
eine Gleichung, die offenbar den Euler- 
schen Multiplicator definirt. Sie stimmt 
aber völlig überein mit der Gleichung 
8), wenn man 
A-iM . 
n— 1 
setzt. 
„Der letzte Multiplicator ist also mit 
dem Euler’schen Multiplicator des auf 
eine Gleichung mit 2 Variablen reducir- 
ten Systems identisch.“ 
Da nun die Kenntniss des Euler’schen 
Multiplicators die Integration der Diffe 
renzialgleichung auf Quadraturen zurück 
führt, und der letzte Multiplicator aus 
einem des ursprünglichen Systems und 
n—2 Integralen desselben ermittelt wer 
den kann, so ergibt sich folgender Satz. 
„Ist in einem System von n — 1 Diffe 
renzialgleichungen mit n Variablen ein 
Multiplicator, ausserdem aber n—2 In 
tegrale bekannt, so wird das letzte In 
tegral durch blosse Quadratur gefunden.‘‘ 
Dieser Satz verbunden mit dem oben 
gegebenen, dass der Quotient zweier 
Multiplicatoren immer ein Integral ist, 
gibt noch folgenden Zusatz : 
„Sind s Integrale und n—1—s Multi 
plicatoren bekannt, wo s jede ganz po 
sitive Zahl, auch Null sein kann, so 
macht die vollständige Integration nur 
noch eine Quadratur nöthig.“ 
Durch Division je zweier der n—1 —s 
Multiplicatoren erhält man nämlich 
n—2 — s neue Integrale, so dass man 
deren jetzt n—2 hat, die man mit einem 
beliebigen Multiplicator verbindet. 
Quadraturen — Zurückf. auf, 
M constant, so erhält man; 
p — n dx 
1 — p = o. 
JJ— l p 
Da, im Ealle diese Gleichung erfüllt wird, 
jede Constante die bezügliche Definitions 
gleichung des Multiplicators erfüllt, so 
kann man auch 1 setzen. Es ist 
dann der letzte Multiplicator: 
M 1 
n — 2 df df' 
dx dx 
...df 
n—3 
n— 1 
dx. 
Beispiel. Jede Aufgabe, welche aus 
der Variationsrechnung entspringt, und 
ausdrückt, dass ein einfaches Integral 
ein Maximum oder Minimum sei, führt 
zu einem Systeme von Differenzialglei 
chungen von der Form: 
dq, _ d<f 
dt dp t ’ 
^Pi_ 
dt 
°'l 
d <h 
d<h 
dt 
d Pi 
dt 
Ü(f! 
dp 2 
dq n _dq, 
2!L 
Öq 2 ’ • • 
dp n der 
— — dq 
1 V. 
wo (/. eine Function der mit p und q 
bezeichneten Grössen ist. Die Anzahl 
der Gleichungen ist also nach Elimina 
tion des Index t 2n—1. — Gleiche Form 
nehmen auch, wie Hamilton gezeigt hat, 
die mechanischen Gleichungen an, falls 
für die Aufgabe, die man betrachtet, das 
Prinzip der lebendigen Kräfte stattfindet, 
und dies ist an sich ersichtlich. Da aus 
diesem Prinzip das der kleinsten Actio 
nen folgt, also die fraglichen Gleichun 
gen der Mechanik als einer Minimums 
aufgabe entspringend betrachtet werden 
können. (Vergleiche den Artikel: Varia 
tionsrechnung.) 
Setzt man nun: 
x V - °'f ... Y 
J V, 1 -i» 2 W — y f 
°P i d Pi » d P„ 
x„ =-i», 
ln dq 
*n 
so ergibt sich, wenn s kleiner als 1, oder 
gleich n ist: