mmtm'Mz. 
Quadratische Factoren. 
Quadratische Factoren. 
= t. 
-ut L 
_ t M,- 
r(i 2 +i {2 ) 
_ tt l -\-uu l 
t 2 -\-u 2 
Setzen wir ausserdem: 
und wenn unter ds das vollständige 
Differenzial von s verstanden wird: 
, tdu—udt 
ds ~ ,ü«r t 1 = 2p 2 Ap cos p<p 
1 u u 2 = 2p 2 Ap sinpy, 
Leitet man jetzt aus ds das Differenzial so kommt, wenn man w nach r diffe- 
nach r, und das nach tp ah, so kommt: renziirt: 
y= 
/ dt. du. dt du\ / di du\ 
( <2 + r2 ) VdT+ M d7 )vdr +l *5r/ 
(l 2 +n 2 y 
und wenn man für 
du 
ihre Werthe 
einsetzt, so wird: 
(i 2 +« 2 )(<t 2 +uu 2 + t l 2 +M| 2 )—2(< ti+n« i ) i 
r(i 2 + M 2 ) 2 
Diejenigen Glieder von m, £,, t 2 ,u 2 , eine Wurzel in den bezeichneten Gren- 
welche zu p ~ 0 gehören, verschwinden zen haben, denn y kann nur unter die- 
ganz, da in u: sin f f , in u L , t 2 , u 2 aber s , er Bedingung unendlich werden, dajur 
unter der Summe der Factor p vorkommt; 
aus diesem Grunde kommt im Zähler 
kein mit r° multiplicirtes Glied vor, und 
derselbe ist durch r theilbar; man hat; 
M 
9 = 
dann der Nenner (£ 2 +m 2 ) 2 gleich Null 
wird. 
Es ist nun: 
tu, —u l, 
Ifd(f=v: 
r (i 2 +M 4 ) 
Setzt man in den Werth von v zuerst 
(f 2 + M 2 ) 2 
wo M eine leicht zu bestimmende ganze 2a und dann 0, so geben beide Ausdrücke 
Function von r, sin (f. und cos <p ist L einzeln Null, da 
Wir betrachten jetzt das Doppel-In 
tegral: 
sin2/m = sin0 = 0 
f R f 2 TT ydydr 
o J o 
ist, also: 
und 
/>/ = 
0 
f R /yr~-0. 
wo R zunächst eine beliebige Constante 
sei. Giebt es nun zwei zusammenge 
hörige Werthe von r und y, wo r zwi 
schen 0 und R liegt, und welche den 
Ausdruck /(.r) verschwinden machen, d. Vertauschen wir jetzt die Grenzen In: 
h. hat Gleichung f(x) = 0 eine Wurzel, n u _p MM 
deren Modul zwischen 0 und R liegt, so / ydr = w = ■ 
wird für diese Werthe von r und y : +u 
l _ n _ q für r Null setzend, erhält man auch w — 0, 
also " - ’ also 
y~ co. 
/ 'R . lt.-\-uu. 
. ,jJr= -PT^’ 
Unser Integral geht dann durch die Un- , 
endlichkeit und es ist nach einem bc- w0 j n ^ en entsprechenden Auscuücven 
kannten Satz der Integralrechnung in ^ für r zu substituiren ist. Mau ha 
diesem Falle, aber auch nur in diesem dann: 
möglich, dass bei der Umkehrung der C2a TR f'2att l +uu l 
Ordnung des Integrirens unser Integral J o J 0 ydrdy —J ^ 
verschiedene Werthe annimmt. Geschieht 
(2 _)_ M 2 
d'f 
letzteres also, so muss nothwendig auch Gicbt es nun einen Werth von R, für 
die Gleichung welchen der Ausdruck = für 
f(x) = 0 < 2 +m 2 
Quadratisc 
jeden Werth von 
so kann das Intej 
Es hat dann in 
rung der Ordnui 
einem von Null 
geführt, und Gleic 
Wurzel. Es läs,' 
Hchkeit eines so 
auf folgende Art 
Sei 
T— 2 A r 
P 
U=zA r 
p 
— 2p A r 
U l = 2p A 
Multiplicirt man [ 
U mit sin ^ny-+- 
T cos 
( ntf+ l. 
T = r M cos-j-+r“- 
U — r”sin-^- + r n ~ 
Es ist aber: 
also 
und folglich: 
„n—1 
T = -7=(r+ 
n]/ 
wo die Ausdrücke 
oder negative e< 
die ersten Gliedei 
geben nämlich 
7 i\ 
von T, während 
Klammern die ü 
ergeben. Einen 
druck erhält man 
und die sinus wie