Zurückf. auf. 
einer Differenzial- 
_£i) . 
n—2 
Ordnung, oder was 
Bestimmung des In- 
auf Quadraturen 
Gestalt: 
A («-0» 
A H+ 1 
mtlichen Nennern den 
enÄusdruckrfwstattrfa;. 
nun, wenn man dem 
die oben eingeführte 
+A 
(p— 0 
"n +1 ’ 
bestimmen braucht, 
blosse Quadratur 
r linearen Differen- 
ahrt aber noch an- 
denen der wichtigste 
nntniss einer Anzahl 
egralen auf die des 
führt. Um dies 
rir zunächst an, dass 
. x freien Glieder 
n 
A 1 ^ sämmt- 
m+ t 
en. Man hat dann 
stem: 
2) 
Quadraturen — Zurückf. auf. 433 Quadraturen — Zurückf. auf. 
dx. 
-t — A l x i A % x 2 
— A/ x,+Ä 2 ' x 2 
+ A 
n rC 
. -\-A ' x , 
n n’ 
dX n . (n — 1) , A i n — 0 I | J (n I) 
-^r~ A y > x t +A^ * x a + . . . + A^ >x n . 
Nehmen Avir nun an, es sei ein par- Systems 2) ein anderes Integral; dies 
ticuläres Integral von der Form ; ist jedoch erster Ordnung. 
Durch fortgesetztes Differenziiren und 
(f {x, a7,) = 0 oder x l —f l (x) Benutzung der übrigen Gleichungen des 
Systems 2) kann man dann im Allge- 
also ein particulares Integral nter Ord- me i nen n particulare Integrale gewinnen, 
nung gegeben, so erhält man durch Dil- vorausgesetzt, dass keine der entste- 
ferenziiren desselben: henden Gleichungen identisch wird, 
dx t wie dies in Ausnahmefällen stattfinden 
—/i (x), kann. Ist dies jedoch nicht der Fall, 
so kann man diese Gleichungen auf die 
also mittels der ersten Gleichung des Form bringen: 
x l =fi{x), x i = f i {x), x t =f t (x) . . . x n = f n (x). 
Dies ist ein System particulärer Integrale. Setzen wir voraus, es sei ein zweites 
gegeben; 
x i — /V OQ, *2— f% (®)> x 3 —ft ( x ) • • • x n — C*0> 
so lässt sich leicht zeigen, dass auch die Ausdrücke: 
x l ~af l (x)+ßf t '(x), x 2 = c(f 2 (x)+ßf 2 '(x) . . . x n = ccf n {x) + ßf n '{x) 
den vorgelegten Differenzialgleichungen genügen, also Integralgleichungen sind, wo 
unter a und ß willkürliche Constanten verstanden werden. Es ist nämlich, wenn 
man das erste System in die Gleichungen 2) einsetzt: 
d fi 
, -4jfi +^ 2 A + • 
dx 
c p=A l 'f l +A 1 'f,+ • 
dx 
-\-A f , 
n ' w 
+A f , 
1 n ' rv 
u. s. w. 
und Avenn man das zweite System einsetzt: 
... +4.V. 
. . . +A n 'r n ’, 
Multiplicirt man sämmtliche Gleichungen des ersten Systems mit « und die des 
zAveiten mit ß, und addirt, so erhält man also: 
d ( af .\+.lb'l=A l {af l +ßf 1 ')+ A i ( a f s + ßf/)+ . . . +A n (af n +ßf n '), 
f 2 ' } = A/ (af l +ßf l ’)+A 2 '(«A+/»A') + • • • + \'(«f n +ßf n '), 
u. s. w. 
Dies letzte System stimmt aber mit den Gleichungen 2) völlig überein, Avenn man 
setzt: 
*2 =«fl+ßfn’ ■ • •> 
so dass diese Werthe in der That dem System 2) genügen, also als Integrale zu 
betrachten sind. 
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