Quadraturen — Zurückf. auf. 436 Quadraturen — Zurückf. auf. 
da 2 
dx 
auflöst; 
5) 
Diese Gleichungen 4) sind aber in Bezug auf die Differenzialquotienten , 
dx 
. linear, man erhält also aus ihnen, wenn man sie nach diesen Grössen 
^l=B l A ,.+B 2 A' ,.+ . . . +B A . 
dx 1 2 n-f-1 1 n n-\-1 
doc n n t i i n r if t rnf.1 (u 1 ) 
ff« 
:ß 
/A , , + B'A' ,, + ... 4-B 'A , / 
1 M+ I 2 M + 1 1 M M-f- 1 
ff« 
ff« 
M =ß/ M 
, .+ß s 
« +1 J 
(«-0 
ß 
(«■ 
Oi (« — 0 
H-f 1 
wo die Grössen 
ß., ß 2 ... ß , ß/ ... ß 
1,2 n’ 1 M 
bestimmte Functionen von x sind. Die 
Bestimmung von « t , « 2 ... « ist also 
auf n Quadraturen zurückgeführt, da die 
rechten Seiten nur die Variable x ent 
halten. Die Werthe von «,, «, ... « , 
1 ’ a rv 
welche jeder also eine Integrationscon- 
stantc enthalten, werden in 3) einge 
setzt und man erhält so die Integrale 
der Gleichungen 1) mit n Constanten. 
Man hat also in der That die allgemei 
nen Integrale. 
Das eben gegebene Theorem rührt 
von Lagrange her, und wird gewöhnlich 
als „Variation der Constanten“ bezeich 
net. Die Anwendungen dieser Methode 
sind für Physik und Astronomie, in letz 
terer namentlich in der Theorie der Stö 
rungen. von grosser Wichtigkeit ge 
worden. 
Es ist aber der Vaiiation der Con 
stanten noch eine weitere Ausdehnung 
für den Fall gegeben worden, wo man 
weniger als n particulare Integrale kennt. 
Mittels ähnlicher Betrachtungen ist es 
nämlich immer möglich, wenn man ein 
particuläres Integral der Gleichungen 2) 
des Abschnitt 16) ohne Constante hat, 
sowohl die Gleichungen 2) als auch die 
Gleichungen 1) auf ein anderes System 
linearer Differenzialgleichungen, welches 
eine Variable weniger hat, zu reduciren; 
wenn man 2 particulare Integrale hat, 
so wird dasselbe auf ein System mit 2 
Variablen weniger reducirt u. s. w. 
Sei z- B. 
x v — fv 0) 
das gegebene particuläre Integral der 
Gleichungen 2), so bildet man zunächst 
auf die mehrfach angedeutete Weise die 
zugehörigen Gleichungen 
X 2 = fl i x )> X 3 — f 3 (•*■) • • • x t i~~ f n ( x )• 
Nehmen wir nun an, die allgemeinen In" 
tegrale der Gleichungen 1) hätten die 
F orm: 
x —u f («), 
n n'n ' n 
x i— x, — u 2 . • 
die man ihnen immer geben kann, wenn u l , u 2 . . . u n zu bestimmende Functio 
nen von x sind. 
Diese Werthe setzen wir in die erste der Gleichungen 1) ein und erhalten: 
+f l (x) t ^ = A l u l f l {x)+A i u a f 2 {x)+ . . . + A n uJ n {x)+ A n ^ { , 
dx 
d. h.: 
• • • + A n f n (*)] 
+A 2 (u 2 -u l )f i (x)+A 3 (u i -u i )f 3 {x)+ . . . +A n (u n -u l )f n {x)+A n+r 
Die ersten Glieder beider Seiten dieser Gleichung aber sind gleich, da die Glei 
chungen 
X i =fl( X ), X 2=f 3 ( X ) • • • 
die Gleichungen 2) erfüllen, also: