1 fM 1 ~ h W) ■ ■ ■
Quadraturen — Zurückf, auf. 438 Quadraturen — Zurückf. auf.
gen 1) enthält. Zugleich ist ersichtlich, dass wenn die Gleichungen 2) des Ab
schnitt 15), wo also die Schlussglieder A n _^ x , , . . . alle gleich Null sind,
zu integriren vorliegen, ein dem System 6) ganz gleiches System entsteht, welches
wir mit 7) bezeichnen wollen, worin die Grössen /?,, ß„ ... B
l> 2 n — 1’ 1
(fl 2)
B n _ | J ganz dieselbe Bedeutung wie in 6) haben, die Grössen B , B 1 ' . . .
(fl
aber sämmtlich gleich Null sind.
Um u v zu bestimmen, hat man nach der Auflösung der Gleichungen 6) noch
die Gleichung:
^r: = A i<f-»'(*)oi+ A 8'/*'(®)®*+ • • • + A 'i 'Wo , + c„
fl IX — 4
und diese ergibt u x durch blosse Quadratur, wenn, wie es nach der Integration
der Gleichungen 6) ja der Fall ist, t,, v 2 . . . a als Functionen von x ge
geben sind.
Schliesslich ist dann:
u 2 — v v -\-u v , w g = —
in die Gleichungen :
x v -uj x (x), x 2 =u 2 f 2 (x) . . . x n =u n f n (x)
zu setzen, so dass dann die Aufgabe vollständig gelöst ist.
Seien jetzt 2 particulare Integrale der Gleichungen 2) gegeben:
x i =A(4 x i=fi'(x)
und daraus bezüglich gebildet:
x 2 =f 2 {x) und x 2 =f/(x) . . . x n — f n (x) und x n =f n '{x),
so kann man wieder die allgemeinen Integrale der Gleichungen 1) setzen:
X 1 — U 1 f \ ( X )> X 2 ~ U 1 f 1 ( X ) • • ‘ X fl ~ u n f n ( x )
und die Gleichungen 6) bilden.
Nehmen wir jedoch zunächst an, es lägen die Gleichungen 2) zum Integriren
vor, so wären die transformirten Gleichungen von der Gestalt, die wir mit 7) be
zeichnet haben, also:
7)
du
dx
-=B 2 v v + B 2 v 2 4-
n— 1
V ,
n — 1
dv 2
dx
i
V
n— I
dv
n — 1
dx
(«— -)
Uj -\-B
(»»— 2 )
u 2 + ... + ß„
n— I n— 1 ’
da aber die Ausdrücke x l =f l '(x), x 2 =f 2 \x) . . . x n = f n \x) particuläre Inte
grale der Gleichungen 2) sind, so müssen dieselben identisch werden, wenn man
* M i fi (*)=A'(*)» «,f*(*)=f»'(. x ) ■ ■ ■ u n f n i x )=f n '(®).
da die particulären Integralen doch in den allgemeinen enthalten sein müssen.
Unter dieser Annahme aber ist:
