iidratische Factoren. 
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Quadratische Factoren. 
Quadratische Factoren. 
- 2 -ßcos(~ + 2(/) + . . . 
) + W.3 + (w _ 3) y2 Ci 3) 
+ . . . 
t. Damit dieser Ausdruck 
grösste Werth von : 
/2 C... 
i f(n 2 ) = 0, so ist als 
= (or-ff l )(.r-« 2 ) f t (x), 
ne ganze rationale Function 
die einen Grad niedriger als 
, auch f l (x) für einen Werth 
ull werden muss, so kommt 
= (*— 
man so fortfährt 
n i)( x ~ a a) • • • (x — ctn)C, 
¡gesetzt wird, dass f(x) vom 
ist. C wird dann eine Fun- 
rrade Null, d. h. eine Con- 
Es lässt sich aber auch 
?en, dass keine andre Zerle- 
x) in lineare Factoren mög- 
:nn sei: 
*l) (*“/**) • • • CX-ßn)D, 
i dem Obigen z. B. 
• • • {ßn-C(n)C 
;e einer der Factoren ß l — a s 
sein, woraus 
ßi = a , 
da dies für jedes ß gilt, so 
lit den n identisch. 
t alle Coefficienten von f(x) 
Ausdrücke « 
n Z n 
l oder complex sein. Sei 
mplex und gleich rcosy + 
it in: 
Sin S(f) 
(x—ay + b 2 . 
lind hier reell 5 also alle 
Factoren lassen zu zweien 
ic Form zurückführen, von 
her immer je 2 ganz belie- 
einem quadratischen Factor 
ieraus folgt, dass wenn die 
nz von x von grader Ord- 
(2+—) ni ~r. 
\ n J n 
nung ist, sich die Gleichung in quadra- sni 
tische Factoren mit reellen Coefficienten 
zerlegen lässt. Ist die Ordnung ungrade, ¥ 1 — ß 
so muss ein linearer Factor wenigstens U11( j s e j ne beliebige ganze positive oder 
reell sein, da ja, wie wir gesehen haben, negative Zahl ist. Da aber 
die imaginären Factoren paarweise ver 
kommen müssen. |2 —7li 
5) Nur in wenigen Fällen lässt sich \ nJ _ n‘ 
die Zerlegung in quadratische Factoren 
wirklich genau durchführen. Am leich- und 
testen findet dies bei dem 2glicdrigen 
Ausdruck 
x n +a e' -e 
statt, mit dem wir uns jetzt beschäftigen ist, so kann man sich s immer als zwi- 
wollen. Es sind hierbei jedoch mehrere sehen — (n—1) und + n einschliesslich 
F'älle zu unterscheiden. Sei zunächst liegend denken, denn jeder andre Werth 
gegeben: von s gibt der Exponentialgrösse einen 
22« Werth, welcher einem aus dieser Reihe 
gleich ist, und da die Anzahl dieser 
Die Gleichung Wurzelwerthe von x gleich dem Grade 
2n 2n der Gleichung ist, so kann keine Dop- 
x —a — 0 pelwurzel darunter sein. Die Wurzeln 
führt zu den Wurzeln unserer Gleichung sind also: 
2n 
j; = a\J 1 
wo 
wo s einen der angeführten Werthe hat und aus diesem Grunde: 
( ni\ , — n\ , 2ik , —2nL 
x—a6 n ) \x—aß n / \x—aß n / \x—a6 11 ) 
( (n—Vnis , —(n—i) n i 
x—a6 n )\x—aß n ) (x—a){x+a). 
Es sind nämlich die entsprechenden positiven und negativen Exponenten von ß 
zusammengestellt und die den Werthen s = 0 und s=zn entsprechenden Factoren 
zuletzt genommen. Man hat nun: 
sni 
—r sn . sn 
p. n l= COS—+ isin— 
0 n n 
x — aß 
sni 
n 
also: 
also: 
—sni 
, n 
sn . sn 
cos —— i sin ’ 
n n 
( !ii\( — —j 
\x—ap n )\x—ae n J — (x—a) 2 cos— 
+ a 2 sin- 
2» 2« , 2 2 2 _ Ti 2 X 2 
x —a = (a; —a) (x — 2ax cos—-\-a)(x- 
= x 2 — 2ax cos—+it a 
n 
n 2 n 2 
-2ax cos— + a ) 
/ 2 „ (n-i)n 
I x — 2ax cos 4- 
\ » 
Sei jetzt 
2«-l-l . 2«+l 
x —a 
der zu zerlegende Ausdruck, so sind die Wurzeln der Gleichung 
2«+l 2/f+l 
x —a =0 
von der Form 
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