- Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 455 Quadraturen — Zurückf, auf. 
, du 
1 n_. 
' dx~«+!’ 
Die Schlüsse für den Fall, wo mehr als ein particulares Integral der Glei 
chung 4) gegeben ist, sind nun wie in Abschnitt 16) zu machen. Ist f'(x) ein 
zweites, so muss also f'(x) = u l f{x) gesetzt werden können, da n l f(x) das allge 
meine Integral ist. Es ergibt sich: 
uction der linearen 
.s m particulare In- 
f{x) df'(x) 
«1 = ®i= ~* 
f(x) dx 
Man hat also ein particulares Integral der Gleichung 7), durch welches die Glei 
chung 6) um eine Ordnung reducirt wird u. s. w. 
allgemeine Integral 
Die Sätze des Abschnitts 17) lassen sich unmittelbar auf unsern Fall anwen 
den. Wir specialisiren daher nur den Satz III), welcher jetzt lautet, da 
A . Aa)zzA’ .,(«)... zzA , / n—2 )(a) = 0, A , («) = A , , («) 
n-f l ' ' n-f-1 w n+1 v ' n-J-1 v ' « + 1 ^ ' 
+ -"+m d ~, 
dx 11 
stellen. 
ücksichtigt dass: 
zu setzen ist: 
„Ist x x —f(x, a) ein particulares Integral der Gleichung 4), wo a eine will 
kürliche Constante ist, und man für jedes a hat: 
nx,.)=0, A~'f(*’ a >=o, d "~ ,f( *’ a) =A , , 
v ’ ’ dx , n — 2 ’ , n—1 w+1 
dx dx 
für den Fall, wo x~a ist, so ist: 
pX 
x t — J f{x, a) da 
vermehrt um das allgemeine Integral der Gleichung 4), das allgemeine Integral 
der Gleichung 1).“ 
YW 
t— 1 
Diese Methode, welche, wie wir bereits gesehen haben, immer die Variation 
der Constanten ersetzt, ist oft bequemer in der Anwendung als die letztere. 
eine Gleichung von 
Was endlich die linearen Differenzialgleichungen mit constanten Coefficienten 
A,, A, • • • A anbetrifft, so werden hier die in dem vorigen Abschnitte gege- 
1 n 
benen Betrachtungen sehr einfach. — Seien in der Gleichung 4) in der That die 
ri* 
Coefficienten constant, so setzt man x l =e mx , und durch Einsetzen in Gleichung 
4) erhält man: 
ier: 
m n -A x A-A^m-\-A % m' i + ••• +A n m n '. 
Die «Wurzeln dieser Gleichung m v m 2 • • • geben eben so viele particulare 
Integrale, und man hat als allgemeines Integral: 
m. x . inx . * n n , 
A't =ß,e 1 1 + • • • u n e 
»t 
wo et^ • • * u )t willkürliche Constanten sind. Seien in s , conjugirte ima 
ginäre Wurzeln, so setzt man: 
+ m^—a—bi, 
tion vorliegt, also 
as allgemeine In- 
« s = 4 (A+ki), a f = 4 {h - hi), 
und erhält: 
m x m x ax 
« s e s + " t e — e (J 1 cos bx + hsinbx), 
wo h und h willkürliche Constanten sind. Werden 2 oder mehrere Wurzeln m g , 
m ,, m ff • • • gleich, so denkt man sich dieselben zunächst unendlich wenig von 
V 
2* 
m x 
einander verschieden. Ist nun « e s das m entsprechende particuläre Integral, 
s s 
das j« s entsprechende particulare Integral,