Quadraturen — Zurückf. auf. 456 Quadraturen —- Zurückf. auf. 
so müssen auch 
d(ct e s ) d 2 (n e S ) 
dm 
dm 
die Gleichung erfüllen, Ausdrücke, 
für welche man erhält: 
m x m x 
O S , S 
ß s e +xa g e , 
m^x m x m x 
y e -\- x ß e -f- x 1 u e , 
du 
d 2 a 
Die Ausdrücke y„ — sind als willkürliche Constanten zu be- 
s dm s dm 2 
s s 
in , x m ,, x 
trachten, und diese Werthe in x x statt der ausfallenden u^, c , • • • 
einzusetzen. Wie leicht zu sehen, hat dann das Integral, wenn f-j-1 Wurzeln 
gleich sind, die Form: 
m.x , m,x . 
x L = « l e 1 -fa 2 e 2 + 
+ «. 
n—t 
m, . x 
Tt t /w . Ol 
e (1 + a^ x+a^x 1 + • • • a x ). 
Dieser Ausdruck hat in der That n willkürliche Constanten. 
Wir fügen diesen Betrachtungen einige Beispiele für die Integration linearer 
Differenzialgleichungen hinzu. 
I) Nehmen wir zuerst die Gleichung: 
8) 
,n ,n— i 
d x. d x. , d 
—- = ct l +« 
,n —2 
+a + ö x.+f(x), 
° ' n—\dxn v,KJ 
I /6 T It 1 7 /( 
dx dx dx 
wo a t , a 2 • * • a Constanten, f(x) aber eine beliebige Function von x ist. — 
Setzt man f(x) zunächst gleich Null, so hat man als vollständiges Integral: 
m, (x — c) . in, (x— c) . , 
9) x l — (t l e 1 ' ' + «¡,6 -|- K 
wo statt der willkürlichen Constanten gesetzt ist: 
m (x — c) 
n K ' 
—in, c —in, C 11 
a, e 1 , ct,e 2 e , 
I » 2 n ’ 
wie dies ja bei willkürlichen c immer geschehen kann. m v , m 2 • • • tn^ sind 
die Wurzeln der Gleichung: 
11 n— l 
m —a j m 
% ,in—a =0. 
11— 1 n 
Um die Auflösung der Gleichung zu finden, wenn f(x) beliebig ist, haben wir 
gemäss dem Satze 3) des Abschnittes 17) zu setzen: 
*.=0, *1=0. ?‘=0, -- -*■= 
dx dx- , n— 2 , n— 1 
dx ax 
wenn x — c ist, und dies führt zu den n Gleichungen: 
10) • • +« n =0, 
a l m l +a 2 m 3 • • +« M «» n = 0, 
m i 2 +« 2 m % 2 • '■\-u^mJ l — 0 
/■(»).