Quadraturen — Zurückf. auf. 471 Quadraturen — Zurückf. auf. 
und ‘wenn man aus der zweiten Glei 
chung in die erste substituirt: 
( dx . 
® ® = 0. 
n— 1 n dx . I 
n—\> 
Aus dieser Gleichung aber kann man 
erhalten: 
oder: 
dx 
= f (**-.)» 
I d y 2 \i— (l ‘y 
\ 1+ d^J - a d^- 
Diese Gleichung ist von x und y frei, 
sie muss also, wie in 1) dargethan, auf 
Quadraturen führen. 
Setzt man in der That 
d J-u 
dx~ ’ 
so folgt; 
d. h. 
/-ii - du 
(! + « ) =a~, 
dx = 
adu 
Va+« 2 ) 3 ’ 
rnr 
+ c. 
V(1 + m 2 ) 
Mittels der Gleichung: 
, , au du 
dy — udx — - 
y(l+w 2 ) 3 
erhält man aber: 
:+ C ,. 
V ~ V(1+m 2 ) 
Aus dieser Gleichung und der für x ist 
u zu eliminiren. Das Resultat ist: 
(•x-Cy+(y-C t y = a*. 
Sei ferner gegeben: 
„ d 3 y (d'y \ 2 
so setzen wir: 
dx 2 ’ 
und es ergibt sich: 
du / , j.. 
* *=“ ( “ +i) - 
= ' ,1 ' 3 - : «C 14 +1)— ~~rr. 
«(«-fl) 2 x 1 c-j-x 
au-c—a- 
u dx 
n— I 
eine Gleichung, deren Auflösung sogar 
durch Quadraturen gelingt. 
Beispiele. Sei gegeben die Glei 
chung : 
c + a;’ 
y~~ff u dx dx = ^J'\x{c — a) — c' l \g(c + x) 
+ cj dx, 
= c iX+(c-a)^-~ ^j(* + c)lg(® + c) 
. , c a a? 
25) Erhöhung der Ordnung einer 
Gleichung. 
Wir haben bis jetzt Fälle betrachtet, 
wo ein System von Differenzialgleichun 
gen sich auf eins reduciren lässt, wel 
ches eine Variable weniger enthält. Es 
ist jedoch nicht immer gut gethan, diese 
Reduction auch wirklich auszuführen, da 
sie oft die charakteristischen Eigenschaf 
ten der vorgelegten Gleichungen ver 
dunkelt. Ja in manchen Fällen ist es 
sogar besser, wenn man ein System in 
ein anderes verwandelt, das eine Variable 
mehr enthält, also entsprechend eine 
Gleichung nt er Ordnung zwischen zwei 
Variablen in eine Gleichung n-fiter 
Ordnung. Es geschieht dadurch zuwei 
len, dass die neue Gleichung leichter in- 
tegrirt werden kann, sei es in Gestalt 
schon bekannter Functionen, oder in Ge 
stalt von Reihen oder bestimmten Inte 
gralen, Wird aber auch dies nicht er 
reicht, so kann die Erhöhung der Ord 
nung möglicher Weise dazu dienen, 
charakteristische Eigenschaften an dem 
vorgelegten Systeme zu entdecken. Dies 
geschieht z. B. oft dann, wenn die vor 
gelegte Gleichung nicht linear ist, man 
aber durch Erhöhung des Grades zu 
einer linearen Gleichung gelangen kann. 
Wir wollen uns hier z. B. die Auf 
gabe stellen, diejenigen Gleichungen erster 
Ordnung zwischen zwei Variablen zu er 
mitteln, welche durch Transformation in 
eine lineare Gleichung zweiter Ordnung 
ohne Schlussglied übergehen. — Wenn 
man in die allgemeine lineare Gleichung: 
1) 
d 1 u du 
wo unter « und ß Functionen von x ge 
dacht werden, einsetzt: 
ay 
u~e a , 
wo a eine Constänte ist, so verwandelt 
sich diese Gleichung in die folgende;