Quadraturen — Zurückf. auf. 472 Quadraturen — Zurückf. auf. 
2 I 
dx 2 
av 
\dx) 
+a«,*»iL+ 
dx T 
ay 
= 0, 
oder: 
d *y 
dx % 
+a 
av 
\dx) 
oder wenn man setzt: 
<k =z ß - 
dx ’ a 
+4+^=0, 
ist. 
g = ba 
2) 
+ az 2 + «z-}-y = 0. 
Umgekehrt lässt sich also diese letzte 
Gleichung erster Ordnung, die nur dann 
linear ist, wenn a = 0 ist, und wo « und 
y willkürliche Functionen von x sind, 
stets in eine lineare zweiter Ordnung 
verwandeln, wenn man setzt; 
1 d\gu , , du 
dx 
d. h.: 
audx' 
Ein besonderer Fall der Gleichung 2) 
ist z. B. die Riccatische Gleichung, die 
wir in Abschnitt 7) betrachtet haben. 
Im Allgemeinen aber lassen sich aus 
diesem Resultate für die Gleichungen 
von der Form 2) manche Folgerungen 
ziehen. — Hat man nämlich 2 partielle 
Integrale der Gleichung 1): 
u~f(x) und u = rj(x), 
so ist das allgemeine Integral: 
u = Af (x) 4- Bff (x), 
wo A und B willkürliche Constanten 
sind, und das allgemeine Integral der 
Gleichung 2) ergibt sich aus der Glei 
chung : 
Es kann diese Erhöhung der Ordnung 
sogar gerathen sein in Bezug auf Glei 
chungen , die sich durch Trennung der 
Variablen unmittelbar auf Quadraturen 
zurückführen lassen. Es ist nämlich 
möglich, dass dem Integrale der vorlie 
genden Gleichung statt der transcenden- 
ten, scheinbar nicht weiter reducirbaren 
Form der Quadratur eine einfachere Form 
gegeben werden kann, welche eben durch 
Erhöhung der Ordnung erhalten wird. 
Das beste Beispiel zu diesem Verfah 
ren ist die Art, wie La Grange das 
Additionstheorem der elliptischen Trans- 
cendenten ableitet. (Siehe den Artikel: 
Elliptische Transcendenten). Sie muss 
daher an dieser Stelle dargestellt werden. 
Liege zur Integration vor die Glei 
chung erster Ordnung: 
o> d 'l , _n 
Y(1—k 2 sin (f ‘) y (1—k 2 sin ip' 1 ) ’ 
in welcher die Variablen getrennt sind. 
Bezeichnen wir den Ausdruck: 
f 
n 
<*'/- 
_ 1 du 
a udx' 
nämlich: 
a[f(x)-\-c' f {x)y 
wo: 
B 
* °~A 
gesetzt wurde, und f'(x), y/(a?) die 
Differenzialquotienten von f{x) und y (x) 
vorstellen. Dies Integral enthält also, 
wie dies sein muss, nur eine Constante. 
Für die Riccatische Gleichung ist zu 
setzen: 
« = 0, y~ —bx m ; 
die zugehörige Gleichung zweiter Ord 
nung ist also: 
d‘ l u 
0 } (l-/£ 2 sin y 2 )’ 
mit wo F(y) bekanntlich nicht 
auf andere Transcendenten oder alge 
braische Functionen reducirt werden 
kann, so ist das Integral unserer Glei 
chung : 
F{'f)+F{xp) = c. 
Zur Bestimmung der Constante c be 
merken wir, dass für <i~- 0 auch F(q.) = 0 
wird. Entspreche diesem Werthe: 
so ist also: 
und: 
Xp = C(, 
F («) = c, 
dx 2 
-gx 
F('l) + F{ip) = F{a). 
Wir suchen aber jetzt durch andere Be 
trachtungen dem Integrale von 3) eine 
nicht mehr transcendente Gestalt zu ge 
ben. Zu dem Ende führen wir eine 
Grösse t ein durch die Gleichung: 
dt 
4(1—singt 2 ).