Quadraturen — Zurückf. auf. 474 Quadraturen — Zurückf. auf.
wo A und B Integrationsconstanten sind. Wir bemerken, dass für
if = 0, xp = a
wurde, und dass somit:
11 — «, v— — «
sich für diesen Fall ergibt.
Es ist ferner, wenn man die Gleichungen 4) berücksichtigt, in diesem Falle
dif, _ dtp
dt 1 ’ dt
— — Y(1 — k 2 sin« 2 ),
also :
^=l-y(l-* 2 sin« 2 ), ^ = H-y(1—sin « 2 ),
oder wenn man diese Werthe mit den Gleichungen 10) vergleicht:
. _1 —y (1—t 2 sin « 2 ) — 1—y (1 — k 2 sin « 2 )
sin« sin«
Aus den Gleichungen 10) lässt sich aher t eliminiren, indem man den Quotien
ten beider Gleichungen nimmt:
11) Bsinudu — A sinr dv,
was zu dem Integral führt:
12) Bcosu = Acos v+C.
Zur Bestimmung von C setzt man wieder:
7=0, u—«, v—~«,
und erhält:
(JB—A) cos «= C,
oder mit Berücksichtigung der Werthe von A und B:
p 2 cos «
sin«
In die Gleichung 12) sind noch die Werthe von u und v einzuführen:
B cos (7. + x)>) — A cos (7 — xp) -f- C,
oder:
(B—A) cos 7 cos xp—(B-\-A) sin 7 sin^/=r C,
oder wenn man für A und B substituirt und den Ausdruck:
y(l — k 1 sin
bezeichnet:
13) cos 7 cos xp—sin 1
Diese merkwürdige Formel gibt also
das Integral der Gleichung 3) als alge
braische Function von sin 7 und sin xf.’.
Sie bildet den Ausgangspunkt der Theo
rie dör elliptischen Transcendenten.
26) Integration einer Di ff er en-
zialgleichung erster Ordnung
mit zwei Variablen durch Rei
hen.
Die im Abschnitt 9) Satz B. gegebe
nen Betrachtungen gewähren die Mög
lichkeit, die Integrale eines Systems von
n Gleichungen mit n+1 Variablen nä
herungsweise zu integriren. Die An-
fangswerthe, welche die Integrationscon
stanten bestimmen, sind dabei immer
so zu wählen, dass die Functionen, welche
A) mit A«
r sin xp A « = cos «.
in den vorgelegten Differenzialgleichun
gen Vorkommen, bei dem gewählten In
tegrationswege nicht durch Discontinui-
täts- oder mehrfache Punkte gehen. Bei
dieser Vorsicht ist es aber auch mög
lich , den Integralen die Form von Po
tenzreihen, welche convergiren müssen,
zu geben, und ist diese Form im Allge
meinen die zweckmässigste. Es ist der
Beweis der Allgemeingültigkeit dieser
Form hier zunächst zu führen. Wir
thun dies nach Briot und Bouquet (théo
rie des fonctions doublement périodiques').
Wenn die Function f(x) der com-
plexen Variablen x continuirlich und
eindeutig bleibt innerhalb eines Kreises
und auf dessen Peripherie, dessen Mit
telpunkt dem Werthe x = x 0 ent-
